Campo de un toro circular homogéneo Capítulo 2

Los siguientes problemas van a estar dedicados uno a uno en diferente página para evitar demasiado texto y corresponde a los presentes después de la sección §9:

3. Indicar las componentes del ímpetu p y del momento cinético M que se conservan en un movimiento dentro de los siguientes campos:

g) Campo de un toro circular homogéneo.

Su lagrangiano expresado en coordenadas rectangulares es:
L=12m(˙x2+˙y2+˙z2)U(r1,r2,...)
La transformación de las coordenadas rectangulares a las coordenadas del toro es:
x=cosϕ(R+rcosθ)y=senϕ(R+rcosθ)z=rsenθ
Donde R es el centro del toro, r es el radio del conducto, supongamos que r puede variar en el tiempo, y que r<R con R constante, además θ,ϕ recorren el intervalo [0,2π); sus derivadas respecto al tiempo son:
˙x=R˙ϕsenϕ+˙rcosϕcosθr˙ϕsenϕcosθr˙θcosϕsenθ
˙y=R˙ϕcosϕ+˙rsenϕcosθ+r˙ϕcosϕcosθr˙θsenϕsenθ
˙z=˙rsenθ+r˙θcosθ
Reemplazando en nuestro lagrangiano:
12m[(R˙ϕsenϕ+˙rcosϕcosθr˙ϕsenϕcosθr˙θcosϕsenθ)2+(R˙ϕcosϕ+˙rsenϕcosθ+r˙ϕcosϕcosθr˙θsenϕsenθ)2+(˙rsenθ+r˙θcosθ)2]U(r,θ,ϕ)
Eliminando algunos términos semejantes, utilizando la identidad trigonométrica fundamental (sen2α+cos2α=1) y además del desarrollo R2+2Rrcosϕ+r2cos2ϕ=(R+rcosϕ)2 llegamos a la siguiente forma del lagrangiano para el toro:
L=12m(˙r2+r2˙θ2+˙ϕ2(R+rcosθ)2)U(r,θ,ϕ)
Enseguida calculamos las ecuaciones de Euler-Lagrange para cada una de las coordenadas generalizadas (aquellas por donde se efectúa el movimiento) r,θ,ϕ:
r:
ddt(L˙r)Lr=0
ddt(˙r(12m(˙r2+r2˙θ2+˙ϕ2(R+rcosθ)2)U(r,θ,ϕ)))r(12m(˙r2+r2˙θ2+˙ϕ2(R+rcosθ)2)U(r,θ,ϕ))=0
ddt(m˙r)mr˙θ2m˙ϕ2cosθ(R+rcosθ)+U(r,θ,ϕ)r=0
Luego pr no se conserva, pero la anterior expresión nos da la ecuación diferencial del movimiento para r:
ddt(m˙r)=mr˙θ2+m˙ϕ2cosθ(R+rcosθ)U(r,θ,ϕ)r
θ:
ddt(L˙θ)Lθ=0
ddt(˙θ(12m(˙r2+r2˙θ2+˙ϕ2(R+rcosθ)2)U(r,θ,ϕ)))θ(12m(˙r2+r2˙θ2+˙ϕ2(R+rcosθ)2)U(r,θ,ϕ))=0
ddt(mr2˙θ)mr˙ϕ2senθ(R+rcosθ)+U(r,θ,ϕ)θ=0
Por lo tanto pθ no se conserva, pero la anterior expresión nos representa la ecuación diferencial asociada a la variable θ:
ddt(mr2˙θ)=mr˙ϕ2senθ(R+rcosθ)U(r,θ,ϕ)θ
ϕ:
ddt(L˙ϕ)Lϕ=0
ddt(˙ϕ(12m(˙r2+r2˙θ2+˙ϕ2(R+rcosθ)2)U(r,θ,ϕ)))ϕ(12m(˙r2+r2˙θ2+˙ϕ2(R+rcosθ)2)U(r,θ,ϕ))=0
ddt(m˙ϕ(R+rcosθ)2)+U(r,θ,ϕ)ϕ=0
Esta vez, tampoco se conserva pϕ, pero nos da la ecuación diferencial para la variable ϕ:
ddt(m˙ϕ(R+rcosθ)2)=U(r,θ,ϕ)ϕ
Ahora calculamos las componentes del momento angular:
mr×v=m(y˙z˙yz)i+m(z˙x˙zx)j+m(x˙y˙xy)k
Mx:
Mx=m(y˙z˙yz)
Mx=m[senϕ(R+rcosθ)[˙rsenθ+r˙θcosθ][R˙ϕcosϕ+˙rsenϕcosθ+r˙ϕcosϕcosθr˙θsenϕsenθ]rsenθ)]
Mx=m[R˙rsenϕsenθ+r˙θsenϕ(Rcosθ+r)r˙ϕsenθcosϕ(R+rcosθ)]
My:
My=m(z˙x˙zx)
My=m[rsenθ[R˙ϕsenϕ+˙rcosϕcosθr˙ϕsenϕcosθr˙θcosϕsenθ](˙rsenθ+r˙θcosθ)[cosϕ(R+rcosθ)]]
My=m[R˙rcosϕsenθ+r˙θcosϕ(Rcosθr)+r˙ϕsenθsenϕ(R+rcosθ)]
Mz:
Mz=m(x˙y˙xy)
Mz=m[cosϕ(R+rcosθ)[R˙ϕcosϕ+˙rsenϕcosθ+r˙ϕcosϕcosθr˙θsenϕsenθ][R˙ϕsenϕ+˙rcosϕcosθr˙ϕsenϕcosθr˙θcosϕsenθ]senϕ(R+rcosθ)]
Mz=m[˙ϕ(R+rcosθ)2]
Finalmente la unica componente que se conserva es Mz, porque no aparece explícitamente la transformación de la coordenada z, en términos de las coordenadas del toro rsenθ, además que Mx y My, son componentes del momento angular que no se conservan ¿Porqué?
Luego es así cómo llegamos a la respuesta del libro. (con z el eje del toro)

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