Campo de un toro circular homogéneo Capítulo 2

Los siguientes problemas van a estar dedicados uno a uno en diferente página para evitar demasiado texto y corresponde a los presentes después de la sección $\S 9$:

3. Indicar las componentes del ímpetu $\mathbf{p}$ y del momento cinético $\mathbf{M}$ que se conservan en un movimiento dentro de los siguientes campos:

g) Campo de un toro circular homogéneo.

Su lagrangiano expresado en coordenadas rectangulares es:

\[L=\frac{1}{2}m(\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2)-U(\mathbf{r_1},\mathbf{r_2},...)\]

La transformación de las coordenadas rectangulares a las coordenadas del toro es:

\[x=cos\phi(R+rcos\theta) \qquad y=sen\phi(R+rcos\theta) \qquad z=rsen\theta\]

Donde $R$ es el centro del toro, $r$ es el radio del conducto, supongamos que $r$ puede variar en el tiempo, y que $r<R$ con $R$ constante, además $\theta,\phi$ recorren el intervalo $[0,2\pi)$; sus derivadas respecto al tiempo son:

\[\dot{x}=-R\dot{\phi}sen\phi+\dot{r}cos\phi cos\theta-r\dot{\phi}sen\phi cos\theta-r\dot{\theta}cos\phi sen\theta\]

\[\dot{y}=R\dot{\phi}cos\phi+\dot{r}sen\phi cos\theta+r\dot{\phi}cos\phi cos\theta-r\dot{\theta}sen\phi sen\theta\]

\[\dot{z}=\dot{r}sen\theta+r\dot{\theta}cos\theta\]

Reemplazando en nuestro lagrangiano:

\[\scriptsize{\frac{1}{2}m[(-R\dot{\phi}sen\phi+\dot{r}cos\phi cos\theta-r\dot{\phi}sen\phi cos\theta-r\dot{\theta}cos\phi sen\theta)^2+(R\dot{\phi}cos\phi+\dot{r}sen\phi cos\theta+r\dot{\phi}cos\phi cos\theta-r\dot{\theta}sen\phi sen\theta)^2+(\dot{r}sen\theta+r\dot{\theta}cos\theta)^2]-U(r,\theta,\phi)}\]

Eliminando algunos términos semejantes, utilizando la identidad trigonométrica fundamental ($sen^2\alpha+cos^2\alpha=1$) y además del desarrollo $R^2+2Rrcos\phi+r^2cos^2\phi=(R+rcos\phi)^2$ llegamos a la siguiente forma del lagrangiano para el toro:

\[L=\frac{1}{2}m(\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2+\dot{\phi}^2(R+rcos\theta)^2)-U(r,\theta,\phi)\]

Enseguida calculamos las ecuaciones de Euler-Lagrange para cada una de las coordenadas generalizadas (aquellas por donde se efectúa el movimiento) $r,\theta,\phi$:

$r$:

\[\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{r}}\right)-\frac{\partial L}{\partial r}=0\]

\[\small{\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial }{\partial \dot{r}}\left(\frac{1}{2}m(\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2+\dot{\phi}^2(R+rcos\theta)^2)-U(r,\theta,\phi)\right)\right)-\frac{\partial }{\partial r}\left(\frac{1}{2}m(\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2+\dot{\phi}^2(R+rcos\theta)^2)-U(r,\theta,\phi)\right)=0}\]

\[\frac{d}{dt}(m\dot{r})-mr\dot{\theta}^2-m\dot{\phi}^2cos\theta(R+rcos\theta)+\frac{\partial U(r,\theta,\phi)}{\partial r}=0\]

Luego $p_r$ no se conserva, pero la anterior expresión nos da la ecuación diferencial del movimiento para $r$:

\[\frac{d}{dt}(m\dot{r})=mr\dot{\theta}^2+m\dot{\phi}^2cos\theta(R+rcos\theta)-\frac{\partial U(r,\theta,\phi)}{\partial r}\]

$\theta$:

\[\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}}\right)-\frac{\partial L}{\partial \theta}=0\]

\[\small{\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial }{\partial \dot{\theta}}\left(\frac{1}{2}m(\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2+\dot{\phi}^2(R+rcos\theta)^2)-U(r,\theta,\phi)\right)\right)-\frac{\partial }{\partial \theta}\left(\frac{1}{2}m(\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2+\dot{\phi}^2(R+rcos\theta)^2)-U(r,\theta,\phi)\right)=0}\]

\[\frac{d}{dt}(mr^2\dot{\theta})-mr\dot{\phi}^2sen\theta(R+rcos\theta)+\frac{\partial U(r,\theta,\phi)}{\partial \theta}=0\]

Por lo tanto $p_\theta$ no se conserva, pero la anterior expresión nos representa la ecuación diferencial asociada a la variable $\theta$:

\[\frac{d}{dt}(mr^2\dot{\theta})=mr\dot{\phi}^2sen\theta(R+rcos\theta)-\frac{\partial U(r,\theta,\phi)}{\partial \theta}\]

$\phi$:

\[\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{\phi}}\right)-\frac{\partial L}{\partial \phi}=0\]

\[\small{\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial }{\partial \dot{\phi}}\left(\frac{1}{2}m(\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2+\dot{\phi}^2(R+rcos\theta)^2)-U(r,\theta,\phi)\right)\right)-\frac{\partial }{\partial \phi}\left(\frac{1}{2}m(\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2+\dot{\phi}^2(R+rcos\theta)^2)-U(r,\theta,\phi)\right)=0}\]

\[\frac{d}{dt}(m\dot{\phi}(R+rcos\theta)^2)+\frac{\partial U(r,\theta,\phi)}{\partial \phi}=0\]

Esta vez, tampoco se conserva $p_\phi$, pero nos da la ecuación diferencial para la variable $\phi$:

\[\frac{d}{dt}(m\dot{\phi}(R+rcos\theta)^2)=-\frac{\partial U(r,\theta,\phi)}{\partial \phi}\]

Ahora calculamos las componentes del momento angular:

\[m\mathbf{r}\times\mathbf{v}=m(y\dot{z}-\dot{y}z)i+m(z\dot{x}-\dot{z}x)j+m(x\dot{y}-\dot{x}y)k\]

$M_x$:

\[M_x=m(y\dot{z}-\dot{y}z)\]

\[M_x=m[sen\phi(R+rcos\theta)[\dot{r}sen\theta+r\dot{\theta}cos\theta]-[R\dot{\phi}cos\phi+\dot{r}sen\phi cos\theta+r\dot{\phi}cos\phi cos\theta-r\dot{\theta}sen\phi sen\theta]rsen\theta)]\]

\[M_x=m[R\dot{r}sen\phi sen\theta+r\dot{\theta}sen\phi(Rcos\theta+r)-r\dot{\phi}sen\theta cos\phi(R+rcos\theta)]\]

$M_y$:

\[M_y=m(z\dot{x}-\dot{z}x)\]

\[M_y=m[rsen\theta[-R\dot{\phi}sen\phi+\dot{r}cos\phi cos\theta-r\dot{\phi}sen\phi cos\theta-r\dot{\theta}cos\phi sen\theta]-(\dot{r}sen\theta+r\dot{\theta}cos\theta)[cos\phi(R+rcos\theta)]]\]

\[M_y=-m[R\dot{r}cos\phi sen\theta+r\dot{\theta}cos\phi(Rcos\theta-r)+r\dot{\phi}sen\theta sen\phi(R+rcos\theta)]\]

$M_z$:

\[M_z=m(x\dot{y}-\dot{x}y)\]

\[\scriptsize{M_z=m[cos\phi(R+rcos\theta)[R\dot{\phi}cos\phi+\dot{r}sen\phi cos\theta+r\dot{\phi}cos\phi cos\theta-r\dot{\theta}sen\phi sen\theta]-[-R\dot{\phi}sen\phi+\dot{r}cos\phi cos\theta-r\dot{\phi}sen\phi cos\theta-r\dot{\theta}cos\phi sen\theta]sen\phi(R+rcos\theta)]}\]

\[M_z=m[\dot{\phi}(R+rcos\theta)^2]\]

Finalmente la unica componente que se conserva es $M_z$, porque no aparece explícitamente la transformación de la coordenada $z$, en términos de las coordenadas del toro $rsen\theta$, además que $M_x$ y $M_y$, son componentes del momento angular que no se conservan ¿Porqué?

Luego es así cómo llegamos a la respuesta del libro. (con $z$ el eje del toro)