Solucionario Mecánica de Landau

 Finalizando el primer capitulo nos encontramos con el siguiente problema: Hallar el lagrangiano: 4. En el sistema representado en la figura, el punto $m_2$ se mueve sobre el eje vertical, y todo el sistema gira con velocidad angular constante $\Omega$ alrededor de este eje. Primero debemos localizar el marco de referencia, que va a estar ubicado en la parte superior, trazamos un plano y las direcciones positivas en coordenadas rectangulares: En este punto ya podemos conocer cuáles son las coordenadas generalizadas en nuestro sistema, son aquellas por donde transcurre el movimiento; estas son $\theta$ y $\Omega$, ahora expresamos la longitud de cada una de las varillas en función de las componentes rectangulares, y esto sólo es posible mediante triángulos, tomando como referencia el ángulo $\theta$: Ahora es posible expresar en términos de las coordenadas rectangulares, cada una de las componentes para las masas $m_1$ y $m_2$ del sistema: Para la masa más sencilla de encontrar las ...

 Está es la parte final del tercer punto, que finalizamos con el ítem c): Péndulo plano cuyo punto de suspensión: 3.c) Oscila verticalmente según la ley $y=acos(\gamma t)$: Cómo las coordenadas generalizadas son aquellas por donde se efectúa el movimiento, el péndulo se mueve verticalmente de acuerdo a la ley $y=acos(\gamma t)$ y mediante la coordenada $\phi$, que se pueden descomponer en coordenadas rectangulares mediante un triángulo: Como es una única masa, sumamos las coordenadas $y=y_1+y_2$ e $x=x_1$, con nuestro punto de referencia ubicado de acuerdo al esquema anterior, así: \[x=lsen\phi \qquad y=acos(\gamma t)-lcos\phi\] Y sus respectivas derivadas respecto al tiempo: \[\dot{x}=\dot{\phi}lcos\phi \qquad \dot{y}=-a\gamma sen(\gamma t)+\dot{\phi}lsen\phi\] Reemplazamos en nuestra energía cinética: \[T=\frac{1}{2}m[\dot{x}^2+\dot{y}^2]\] \[T=\frac{1}{2}m[\dot{\phi}^2l^2cos^2\phi+(-a\gamma sen(\gamma t)+\dot{\phi}lsen\phi)^2]\] Haciendo un poco de álgebra y utilizando la identi...

Debido a que el tercer punto tiene 3 ítems a), b) y c), he decidido dedicar a cada ejercicio su propio espacio, ya que son similares, pero no dependen entre sí. Péndulo plano cuyo punto de suspensión: 3.b) Oscila horizontalmente en el plano del péndulo según la ley $x=acos(\gamma t)$: Cómo las coordenadas generalizadas son aquellas por donde se efectúa el movimiento, el péndulo se mueve oscilando horizontalmente de acuerdo a $x=acos(\gamma t)$ y a través del ángulo $\phi$, luego es posible representarlas en términos de coordenadas rectangulares mediante triángulos: Cómo es una sola masa, sumamos las coordenadas $x$ en este caso, para formar $x=x_1+x_2$ e $y=y_1$, que de acuerdo  a nuestro punto de referencia ubicado sobre la horizontal (parte superior positivo, parte inferior negativo) tenemos: \[x=acos(\gamma t)+lsen\phi \qquad y=-lcos\phi\] Y sus respectivas derivadas respecto al tiempo: \[\dot{x}=-a\gamma sen(\gamma t)+\dot{\phi}lcos\phi \qquad \dot{y}=\dot{\phi}lsen\phi\] Reemp...

Después de un buen tiempo sin publicar en el blog, he vuelto y continuamos con el item a)  Péndulo plano, cuyo punto de suspensión: 3.a) se desplaza uniformemente sobre una circunferencia vertical con una frecuencia constante $\gamma$: Recordando que nuestras coordenadas generalizadas son aquellas por donde se efectúa el movimiento, para nuestro caso las coordenada $\phi$, pero como tenemos un movimiento circular, este va a tener dependencia explicita por el tiempo, multiplicada por su frecuencia $\gamma$, para efectos de facilidad al momento de obtener el lagrangiano, representamos $l$ (la longitud del péndulo), $\phi$, $a$ (el radio de la circunferencia), y $\gamma t$, el ángulo que recorre el péndulo en la circunferencia, respecto a las coordenadas rectangulares $x$ e $y$ en dos triángulos: Cómo es una masa, entonces tendremos la suma de coordenadas $x=x_1+x_2$ e $y=y_1+y_2$, que en términos de coordenadas rectangulares es: \[x=acos(\gamma t)+lsen\phi \qquad y=asen(\gamma t)-lco...

Continuamos resolviendo los problemas que siguen a la sección $\S 5$: Encontrar la lagrangiana (o lagrangiano) 2.Péndulo plano de masa $m_2$, cuyo punto de suspensión (de masa $m_1$) puede desplazarse en el mismo plano sobre una recta horizontal. Como nuestras coordenadas generalizadas son aquellas por dónde se efectúa el movimiento, en este caso las coordenadas $x$ y $\phi$, es a partir de estos que obtenemos nuestro lagrangiano, y para efectos prácticos en el péndulo, vamos a representar la proyección del largo del péndulo $l$, y su ángulo $\phi$ respecto a las coordenadas rectangulares $x$ y $y$, mediante un triángulo rectángulo: Escribiendo en términos de las coordenadas rectangulares: \[x_1=x_1 \qquad y_1=0\] \[x_2=lsen\phi+x_1\qquad y_2=-lcos\phi\] (El signo negativo es debido a la forma que he decidido escoger las coordenadas) Las derivadas respecto al tiempo son: \[\dot{x}_1=\dot{x}_1 \qquad \dot{y}_1=0\] \[\dot{x}_2=lcos\phi\dot{\phi}+\dot{x}_1\qquad \dot{y}_2=lsen\phi\dot{\ph...

Problemas seguidos de la sección $\S 5$: Encontrar la lagrangiana (o lagrangiano) 1. Péndulo doble coplanario Nuestras coordenadas generalizadas son aquellas por donde se efectúa el movimiento, en este caso las coordenadas $\phi_1$ y $\phi_2$, además debemos poder representarlos en términos de las coordenadas rectangulares, para efectos prácticos de hallar con mayor facilidad nuestra lagrangiana (o lagrangiano), y la mejor forma es tomando triángulos rectángulos con los ejes $x$ y $y$, diferenciando claramente para cada caso: Ahora si es posible escribir cada uno de los catetos en términos de la hipotenusa $l$ de cada péndulo, así como también de sus ángulos $\phi$ respectivamente: \[x_1=l_1 sen\phi_1\qquad y_1=-l_1 cos\phi_1\] \[x_2=l_1 sen\phi_1+l_2 sen\phi_2 \qquad y_2=-l_1 cos\phi_1-l_2cos\phi_2\] (El signo negativo, es porque tomamos valores negativos para $y$, y positivos por encima de la base donde cuelgan los péndulos) Ahora es momento de realizar las derivadas respecto al tiem...

Quizá hablar de un solucionario de los libros de Landau, puede sonar a broma, o tal vez innecesario; porque las personas que alguna vez en nuestra vida hemos visto esos libros, pues nos hemos percatado que todos los problemas vienen con su respectiva solución. Entonces, ¿Para que hacer un solucionario, si los problemas ya muestran su solución? Aquellos que han intentado solucionar los ejercicios, y no han podido ni si quiera comenzar a hacer alguno de los problemas, porque no entienden ni si quiera como iniciar, o aún peor, no entienden a que se refiere el autor, les voy a mostrar las soluciones que he obtenido a lo largo de este tiempo que me he aventurado a entender y solucionar aquellos problemas, que exigen un nivel tanto de matemáticas y de física considerable, aunque no imposible de entender; para aquellos que hasta ahora iniciamos en el estudio de la física, o por alguna razón debemos ver esta materia o asignatura, o mejor aún nos apasiona la física, este formato de blog nos va ...