Lagrangiano Péndulo Doble Coplanario Capitulo 1

Problemas seguidos de la sección $\S 5$:

Encontrar la lagrangiana (o lagrangiano)

1. Péndulo doble coplanario

Nuestras coordenadas generalizadas son aquellas por donde se efectúa el movimiento, en este caso las coordenadas $\phi_1$ y $\phi_2$, además debemos poder representarlos en términos de las coordenadas rectangulares, para efectos prácticos de hallar con mayor facilidad nuestra lagrangiana (o lagrangiano), y la mejor forma es tomando triángulos rectángulos con los ejes $x$ y $y$, diferenciando claramente para cada caso:

Ahora si es posible escribir cada uno de los catetos en términos de la hipotenusa $l$ de cada péndulo, así como también de sus ángulos $\phi$ respectivamente:
\[x_1=l_1 sen\phi_1\qquad y_1=-l_1 cos\phi_1\]
\[x_2=l_1 sen\phi_1+l_2 sen\phi_2 \qquad y_2=-l_1 cos\phi_1-l_2cos\phi_2\]
(El signo negativo, es porque tomamos valores negativos para $y$, y positivos por encima de la base donde cuelgan los péndulos)
Ahora es momento de realizar las derivadas respecto al tiempo para cada caso:
\[\dot{x}_1=l_1 cos\phi_1\dot{\phi}_1\qquad \dot{y}_1=l_1 sen\phi_1\dot{\phi}_1\]
\[\dot{x}_2=l_1 cos\phi_1\dot{\phi}_1+l_2 cos\phi_2\dot{\phi}_2 \qquad \dot{y}_2=l_1 sen\phi_1\dot{\phi}_1+l_1 sen\phi_2\dot{\phi}_2\]
Nosotros hacemos este procedimiento porque la forma de la energía cinética es la siguiente para cada uno de los péndulos:
\[T_1=\frac{1}{2}m(\dot{x}_1^{2}+\dot{y}_1^{2}) \qquad T_2=\frac{1}{2}m(\dot{x}_2^{2}+\dot{y}_2^{2})\]
Así como muchos de ustedes intuirán, debemos realizar un poco de álgebra para dar con los resultados de esas derivadas respecto al tiempo (velocidades):
\[\dot{x}_1^{2}=l_1^{2}cos^{2}\phi_1\dot{\phi}_1^{2}\qquad \dot{y}_1^{2}=l_1^{2}sen^{2}\phi_1\dot{\phi}_1^{2}\]
\[\dot{x}_2^{2}=(l_1 cos\phi_1\dot{\phi}_1+l_2 cos\phi_2\dot{\phi}_2)^{2} \qquad \dot{y}_2^{2}=(l_1 sen\phi_1\dot{\phi}_1+l_1 sen\phi_2\dot{\phi}_2)^{2}\]
Reemplazando en cada una de las energías cinéticas:
\[T_1=\frac{1}{2}m(l_1^{2}cos^{2}\phi_1\dot{\phi}_1^{2}+l_1^{2}sen^{2}\phi_1\dot{\phi}_1^{2})\]
\[T_2=\frac{1}{2}m[(l_1 cos\phi_1\dot{\phi}_1+l_2 cos\phi_2\dot{\phi}_2)^{2}+(l_1 sen\phi_1\dot{\phi}_1+l_1 sen\phi_2\dot{\phi}_2)^{2}]\]
Está parte ya la podemos solucionar realizando el procedimiento habitual (expandir el binomio al cuadrado, cancelar algunos términos, aplicar la identidad fundamental $sen^{2}\phi+cos^{2}\phi=1$, aplicar identidad de ángulos dobles $cos(\phi_1\pm \phi_2)=cos\phi_1cos\phi_2\mp sen\phi_1sen\phi_2$), que da como resultado las siguientes energías cinéticas:
\[T_1=\frac{1}{2}ml_{1}^{2}\dot{\phi}_1^{2}\]
\[T_2=\frac{1}{2}m[l_{1}^{2}\dot{\phi}_1^{2}+l_{2}^{2}\dot{\phi}_2^{2}+2l_1l_2\dot{\phi}_1\dot{\phi}_2cos(\phi_1-\phi_2)]\]
Pero al inicio nos piden hallar el lagrangiano que es de la forma:
\[L=T-U\]
Con $T$, la energía cinética que hemos hallado para cada caso, y $U$, la energía potencial que hasta ahora desconocemos, pero que vamos a conocer en este preciso instante, la fuerza que le ejerce la tierra a cada uno de los péndulos, se puede expresar en términos de la energía potencial gravitacional, que en este caso va dirigido por el eje $y$, que ya hemos hallado antes en términos de la longitud $l$ y del ángulo $\phi$, para cada uno de los casos:
\[U_1=-m_1gl_1cos\phi_1 \qquad U_2=-m_2gl_1cos\phi_1-m_2gl_2cos\phi_2\]
Finalmente podemos expresar el lagrangiano del sistema (realizando un poco más de álgebra) como:
\[L=T_1+T_2-U_1-U_2\]
\[L=\frac{1}{2}(m_1+m_2)l_1^{2}\dot{\phi}_1^{2}+\frac{1}{2}m_2l_2^{2}\dot{\phi}_2^{2}+m_2l_1l_2\dot{\phi}_1\dot{\phi}_2cos(\phi_1-\phi_2)+(m_1+m_2)gl_1cos\phi_1+m_2gl_2cos\phi_2\]
Este resultado final es el que aparece en el libro, mediante los pasos acá expuestos.

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