Lagrangiano Péndulo Doble Coplanario Capitulo 1
Problemas seguidos de la sección §5:
Encontrar la lagrangiana (o lagrangiano)
1. Péndulo doble coplanario
Nuestras coordenadas generalizadas son aquellas por donde se efectúa el movimiento, en este caso las coordenadas ϕ1 y ϕ2, además debemos poder representarlos en términos de las coordenadas rectangulares, para efectos prácticos de hallar con mayor facilidad nuestra lagrangiana (o lagrangiano), y la mejor forma es tomando triángulos rectángulos con los ejes x y y, diferenciando claramente para cada caso:
Ahora si es posible escribir cada uno de los catetos en términos de la hipotenusa l de cada péndulo, así como también de sus ángulos ϕ respectivamente:
x1=l1senϕ1y1=−l1cosϕ1
x2=l1senϕ1+l2senϕ2y2=−l1cosϕ1−l2cosϕ2
(El signo negativo, es porque tomamos valores negativos para y, y positivos por encima de la base donde cuelgan los péndulos)
Ahora es momento de realizar las derivadas respecto al tiempo para cada caso:
˙x1=l1cosϕ1˙ϕ1˙y1=l1senϕ1˙ϕ1
˙x2=l1cosϕ1˙ϕ1+l2cosϕ2˙ϕ2˙y2=l1senϕ1˙ϕ1+l1senϕ2˙ϕ2
Nosotros hacemos este procedimiento porque la forma de la energía cinética es la siguiente para cada uno de los péndulos:
T1=12m(˙x21+˙y21)T2=12m(˙x22+˙y22)
Así como muchos de ustedes intuirán, debemos realizar un poco de álgebra para dar con los resultados de esas derivadas respecto al tiempo (velocidades):
˙x21=l21cos2ϕ1˙ϕ21˙y21=l21sen2ϕ1˙ϕ21
˙x22=(l1cosϕ1˙ϕ1+l2cosϕ2˙ϕ2)2˙y22=(l1senϕ1˙ϕ1+l1senϕ2˙ϕ2)2
Reemplazando en cada una de las energías cinéticas:
T1=12m(l21cos2ϕ1˙ϕ21+l21sen2ϕ1˙ϕ21)
T2=12m[(l1cosϕ1˙ϕ1+l2cosϕ2˙ϕ2)2+(l1senϕ1˙ϕ1+l1senϕ2˙ϕ2)2]
Está parte ya la podemos solucionar realizando el procedimiento habitual (expandir el binomio al cuadrado, cancelar algunos términos, aplicar la identidad fundamental sen2ϕ+cos2ϕ=1, aplicar identidad de ángulos dobles cos(ϕ1±ϕ2)=cosϕ1cosϕ2∓senϕ1senϕ2), que da como resultado las siguientes energías cinéticas:
T1=12ml21˙ϕ21
T2=12m[l21˙ϕ21+l22˙ϕ22+2l1l2˙ϕ1˙ϕ2cos(ϕ1−ϕ2)]
Pero al inicio nos piden hallar el lagrangiano que es de la forma:
L=T−U
U1=−m1gl1cosϕ1U2=−m2gl1cosϕ1−m2gl2cosϕ2
Finalmente podemos expresar el lagrangiano del sistema (realizando un poco más de álgebra) como:
L=T1+T2−U1−U2
L=12(m1+m2)l21˙ϕ21+12m2l22˙ϕ22+m2l1l2˙ϕ1˙ϕ2cos(ϕ1−ϕ2)+(m1+m2)gl1cosϕ1+m2gl2cosϕ2
Este resultado final es el que aparece en el libro, mediante los pasos acá expuestos.
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