Lagrangiano Péndulo Doble Coplanario Capitulo 1

Problemas seguidos de la sección §5:

Encontrar la lagrangiana (o lagrangiano)

1. Péndulo doble coplanario

Nuestras coordenadas generalizadas son aquellas por donde se efectúa el movimiento, en este caso las coordenadas ϕ1 y ϕ2, además debemos poder representarlos en términos de las coordenadas rectangulares, para efectos prácticos de hallar con mayor facilidad nuestra lagrangiana (o lagrangiano), y la mejor forma es tomando triángulos rectángulos con los ejes x y y, diferenciando claramente para cada caso:

Ahora si es posible escribir cada uno de los catetos en términos de la hipotenusa l de cada péndulo, así como también de sus ángulos ϕ respectivamente:
x1=l1senϕ1y1=l1cosϕ1
x2=l1senϕ1+l2senϕ2y2=l1cosϕ1l2cosϕ2
(El signo negativo, es porque tomamos valores negativos para y, y positivos por encima de la base donde cuelgan los péndulos)
Ahora es momento de realizar las derivadas respecto al tiempo para cada caso:
˙x1=l1cosϕ1˙ϕ1˙y1=l1senϕ1˙ϕ1
˙x2=l1cosϕ1˙ϕ1+l2cosϕ2˙ϕ2˙y2=l1senϕ1˙ϕ1+l1senϕ2˙ϕ2
Nosotros hacemos este procedimiento porque la forma de la energía cinética es la siguiente para cada uno de los péndulos:
T1=12m(˙x21+˙y21)T2=12m(˙x22+˙y22)
Así como muchos de ustedes intuirán, debemos realizar un poco de álgebra para dar con los resultados de esas derivadas respecto al tiempo (velocidades):
˙x21=l21cos2ϕ1˙ϕ21˙y21=l21sen2ϕ1˙ϕ21
˙x22=(l1cosϕ1˙ϕ1+l2cosϕ2˙ϕ2)2˙y22=(l1senϕ1˙ϕ1+l1senϕ2˙ϕ2)2
Reemplazando en cada una de las energías cinéticas:
T1=12m(l21cos2ϕ1˙ϕ21+l21sen2ϕ1˙ϕ21)
T2=12m[(l1cosϕ1˙ϕ1+l2cosϕ2˙ϕ2)2+(l1senϕ1˙ϕ1+l1senϕ2˙ϕ2)2]
Está parte ya la podemos solucionar realizando el procedimiento habitual (expandir el binomio al cuadrado, cancelar algunos términos, aplicar la identidad fundamental sen2ϕ+cos2ϕ=1, aplicar identidad de ángulos dobles cos(ϕ1±ϕ2)=cosϕ1cosϕ2senϕ1senϕ2), que da como resultado las siguientes energías cinéticas:
T1=12ml21˙ϕ21
T2=12m[l21˙ϕ21+l22˙ϕ22+2l1l2˙ϕ1˙ϕ2cos(ϕ1ϕ2)]
Pero al inicio nos piden hallar el lagrangiano que es de la forma:
L=TU
Con T, la energía cinética que hemos hallado para cada caso, y U, la energía potencial que hasta ahora desconocemos, pero que vamos a conocer en este preciso instante, la fuerza que le ejerce la tierra a cada uno de los péndulos, se puede expresar en términos de la energía potencial gravitacional, que en este caso va dirigido por el eje y, que ya hemos hallado antes en términos de la longitud l y del ángulo ϕ, para cada uno de los casos:
U1=m1gl1cosϕ1U2=m2gl1cosϕ1m2gl2cosϕ2
Finalmente podemos expresar el lagrangiano del sistema (realizando un poco más de álgebra) como:
L=T1+T2U1U2
L=12(m1+m2)l21˙ϕ21+12m2l22˙ϕ22+m2l1l2˙ϕ1˙ϕ2cos(ϕ1ϕ2)+(m1+m2)gl1cosϕ1+m2gl2cosϕ2
Este resultado final es el que aparece en el libro, mediante los pasos acá expuestos.

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