Lagrangiano péndulo plano con punto de suspensión b) Capítulo 1

Debido a que el tercer punto tiene 3 ítems a), b) y c), he decidido dedicar a cada ejercicio su propio espacio, ya que son similares, pero no dependen entre sí.

Péndulo plano cuyo punto de suspensión:

3.b) Oscila horizontalmente en el plano del péndulo según la ley $x=acos(\gamma t)$:

Cómo las coordenadas generalizadas son aquellas por donde se efectúa el movimiento, el péndulo se mueve oscilando horizontalmente de acuerdo a $x=acos(\gamma t)$ y a través del ángulo $\phi$, luego es posible representarlas en términos de coordenadas rectangulares mediante triángulos:

Cómo es una sola masa, sumamos las coordenadas $x$ en este caso, para formar $x=x_1+x_2$ e $y=y_1$, que de acuerdo  a nuestro punto de referencia ubicado sobre la horizontal (parte superior positivo, parte inferior negativo) tenemos:

\[x=acos(\gamma t)+lsen\phi \qquad y=-lcos\phi\]

Y sus respectivas derivadas respecto al tiempo:

\[\dot{x}=-a\gamma sen(\gamma t)+\dot{\phi}lcos\phi \qquad \dot{y}=\dot{\phi}lsen\phi\]

Reemplazamos en nuestra energía cinética:

\[T=\frac{1}{2}m[\dot{x}^2+\dot{y}^2]\]

\[T=\frac{1}{2}m[(-a\gamma sen(\gamma t)+\dot{\phi}lcos\phi)^2+\dot{\phi}^2l^2sen^2\phi]\]

Realizando álgebra sencilla utilizando la identidad trigonométrica fundamental ($sen^2\phi+cos^2\phi=1$) obtenemos la energía cinética para la masa $m$:

\[T=\frac{1}{2}m(l^2\dot{\phi}^2-2\dot{\phi}al\gamma cos\phi sen(\gamma t)+a^2\gamma^2 sen^2(\gamma t))\]

Cómo el lagrangiano es la resta de la energía cinética con la energía potencial:

\[L=T-U\]

En nuestro caso la unica componente que realiza energía potencial es aquella que depende de $\phi$, porque las que dependen de $(\gamma t)$ se eliminan entre sí, luego tenemos:

\[U=-mglcos\phi\]

Para obtener nuestro lagrangiano de la forma:

\[L=\frac{1}{2}ml^2\dot{\phi}^2-m\dot{\phi}al \gamma cos\phi sen(\gamma t)+\frac{1}{2}ma^2\gamma^2 sen^2(\gamma t)+mglcos\phi\]

Que lo podemos representar del siguiente modo:

\[L=\frac{1}{2}ml^2\dot{\phi}^2-m\dot{\phi}al \gamma cos\phi sen(\gamma t)+mglcos\phi+\frac{1}{2}ma^2\gamma^2 sen^2(\gamma t)\]

Que corresponde a un lagrangiano de la forma:

\[L'(\phi,\dot{\phi},t)=L(\phi,\dot{\phi},t)+\frac{d}{dt}f(t)\]

Este lagrangiano es invariable ante las ecuaciones del movimiento, por lo tanto si omitimos el término de la derivada total llegamos a nuestro resultado esperado:

\[L=\frac{1}{2}ml^2\dot{\phi}^2-m\dot{\phi}al \gamma cos\phi sen(\gamma t)+mglcos\phi\]