Lagrangiano péndulo plano con punto de suspensión b) Capítulo 1

Debido a que el tercer punto tiene 3 ítems a), b) y c), he decidido dedicar a cada ejercicio su propio espacio, ya que son similares, pero no dependen entre sí.

Péndulo plano cuyo punto de suspensión:

3.b) Oscila horizontalmente en el plano del péndulo según la ley x=acos(γt):



Cómo las coordenadas generalizadas son aquellas por donde se efectúa el movimiento, el péndulo se mueve oscilando horizontalmente de acuerdo a x=acos(γt) y a través del ángulo ϕ, luego es posible representarlas en términos de coordenadas rectangulares mediante triángulos:

Cómo es una sola masa, sumamos las coordenadas x en este caso, para formar x=x1+x2 e y=y1, que de acuerdo  a nuestro punto de referencia ubicado sobre la horizontal (parte superior positivo, parte inferior negativo) tenemos:
x=acos(γt)+lsenϕy=lcosϕ
Y sus respectivas derivadas respecto al tiempo:
˙x=aγsen(γt)+˙ϕlcosϕ˙y=˙ϕlsenϕ
Reemplazamos en nuestra energía cinética:
T=12m[˙x2+˙y2]
T=12m[(aγsen(γt)+˙ϕlcosϕ)2+˙ϕ2l2sen2ϕ]
Realizando álgebra sencilla utilizando la identidad trigonométrica fundamental (sen2ϕ+cos2ϕ=1) obtenemos la energía cinética para la masa m:
T=12m(l2˙ϕ22˙ϕalγcosϕsen(γt)+a2γ2sen2(γt))
Cómo el lagrangiano es la resta de la energía cinética con la energía potencial:
L=TU
En nuestro caso la unica componente que realiza energía potencial es aquella que depende de ϕ, porque las que dependen de (γt) se eliminan entre sí, luego tenemos:
U=mglcosϕ
Para obtener nuestro lagrangiano de la forma:
L=12ml2˙ϕ2m˙ϕalγcosϕsen(γt)+12ma2γ2sen2(γt)+mglcosϕ
Que lo podemos representar del siguiente modo:
L=12ml2˙ϕ2m˙ϕalγcosϕsen(γt)+mglcosϕ+12ma2γ2sen2(γt)
Que corresponde a un lagrangiano de la forma:
L(ϕ,˙ϕ,t)=L(ϕ,˙ϕ,t)+ddtf(t)
Este lagrangiano es invariable ante las ecuaciones del movimiento, por lo tanto si omitimos el término de la derivada total llegamos a nuestro resultado esperado:
L=12ml2˙ϕ2m˙ϕalγcosϕsen(γt)+mglcosϕ

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