Lagrangiano péndulo plano con punto de suspensión móvil Capítulo 1

Continuamos resolviendo los problemas que siguen a la sección $\S 5$:

Encontrar la lagrangiana (o lagrangiano)

2.Péndulo plano de masa $m_2$, cuyo punto de suspensión (de masa $m_1$) puede desplazarse en el mismo plano sobre una recta horizontal.

Como nuestras coordenadas generalizadas son aquellas por dónde se efectúa el movimiento, en este caso las coordenadas $x$ y $\phi$, es a partir de estos que obtenemos nuestro lagrangiano, y para efectos prácticos en el péndulo, vamos a representar la proyección del largo del péndulo $l$, y su ángulo $\phi$ respecto a las coordenadas rectangulares $x$ y $y$, mediante un triángulo rectángulo:

Escribiendo en términos de las coordenadas rectangulares:

$$x_1=x_1 \qquad y_1=0$$

$$x_2=lsen\phi+x_1\qquad y_2=-lcos\phi$$

(El signo negativo es debido a la forma que he decidido escoger las coordenadas)

Las derivadas respecto al tiempo son:

$$\dot{x}_1=\dot{x}_1 \qquad \dot{y}_1=0$$

$$\dot{x}_2=lcos\phi\dot{\phi}+\dot{x}_1\qquad \dot{y}_2=lsen\phi\dot{\phi}$$

Reemplazamos en nuestra energía cinética para cada masa:

$$T_1=\frac{1}{2}m(\dot{x}_{1}^{2}+\dot{y}_{1}^{2})\qquad T_2=\frac{1}{2}m(\dot{x}_{2}^{2}+\dot{y}_{2}^{2})$$

Así que nos corresponderá realizar un poco de álgebra (para este caso resulta bastante sencilla, para expresar las velocidades al cuadrado)

$$\dot{x}^{2}_1=\dot{x}^{2}_1 \qquad \dot{y}^{2}_1=0$$

$$\dot{x}^{2}_2=(lcos\phi\dot{\phi}+\dot{x}_1)^{2}\qquad\dot{y}_2^{2}=l^{2}sen^{2}\phi\dot{\phi}^{2}$$

Reemplazando en nuestras energías cinéticas:

$$T_1=\frac{1}{2}m\dot{x}_{1}^{2}\qquad T_2=\frac{1}{2}[(lcos\phi\dot{\phi}+\dot{x}_1)^{2}+l^{2}sen^{2}\phi\dot{\phi}^{2}]$$

En este caso sólo vamos a necesitar la identidad trigonométrica fundamental ($sen^{2}\phi+cos^{2}\phi=1$) para la energía cinética de la partícula de masa $m_2$ y finalmente las energías cinéticas son:

$$T_1=\frac{1}{2}m\dot{x}_{1}^{2}\qquad T_2=\frac{1}{2}[l^{2}\dot{\phi}^{2}+2lcos\phi\dot{\phi}\dot{x}+\dot{x}^{2}]$$

Pero el lagrangiano es la resta de la energía cinética y de la energía potencial:

$$L=T_1+T_2-U_2$$

Es así que representamos la única energía potencial que tenemos:

$$U_2=-m_2glcos\theta$$

Finalmente representamos el lagrangiano cómo:

$$L=\frac{1}{2}(m_1+m_2)\dot{x}^{2}+\frac{1}{2}m_2(l^{2}\dot{\phi}^{2}+lcos\phi\dot{\phi}\dot{x})+m_2glcos\theta$$

Que corresponde a la respuesta.