Lagrangiano masas que rotan alrededor del eje $z$ Capitulo 1

 Finalizando el primer capitulo nos encontramos con el siguiente problema:

Hallar el lagrangiano:

4. En el sistema representado en la figura, el punto $m_2$ se mueve sobre el eje vertical, y todo el sistema gira con velocidad angular constante $\Omega$ alrededor de este eje.

Primero debemos localizar el marco de referencia, que va a estar ubicado en la parte superior, trazamos un plano y las direcciones positivas en coordenadas rectangulares:

En este punto ya podemos conocer cuáles son las coordenadas generalizadas en nuestro sistema, son aquellas por donde transcurre el movimiento; estas son $\theta$ y $\Omega$, ahora expresamos la longitud de cada una de las varillas en función de las componentes rectangulares, y esto sólo es posible mediante triángulos, tomando como referencia el ángulo $\theta$:

Ahora es posible expresar en términos de las coordenadas rectangulares, cada una de las componentes para las masas $m_1$ y $m_2$ del sistema:

Para la masa más sencilla de encontrar las coordenadas es la masa $m_2$ dado que no gira con velocidad angular, (o mas bien la podemos despreciar en comparación a las masas $m_1$):

$$x_2=0 \qquad y_2=-acos\theta \qquad z_2=0$$

La coordenada para la masa $m_1$ de la derecha será (tenemos en cuenta que $sen^2(\Omega t)+cos^2(\Omega t)=1$, luego podemos descomponer la velocidad angular en componentes):

$$x_1=asen\theta sen(\Omega t) \qquad y_1=-acos\theta \qquad  z_1=asen\theta cos(\Omega t)$$

Y las coordenadas para la masa $m_1$ de la izquierda será:

$$x_1=-asen\theta sen(\Omega t) \qquad y_1=-acos\theta sen(\Omega t) \qquad  z_1=-asen\theta cos(\Omega t)$$

Como las masas $m_1$ se diferencian unicamente del signo negativo, podemos tomar cualquiera de las dos masas para hallar el lagrangiano, para nuestra comodidad, escogemos la masa $m_1$ a la derecha y calculamos sus derivadas respecto al tiempo:

$$\dot{x}_2=0 \qquad \dot{y}_2=2a\dot{\theta}sen\theta \qquad \dot{z}_2=0$$

$$\dot{x}_1=a[\dot{\theta}cos\theta sen(\Omega t)+\Omega sen\theta cos(\Omega t)] \qquad \dot{y}_1=a\dot{\theta}sen\theta \qquad \dot{z}_1=a[\dot{\theta}cos\theta cos(\Omega t)-\Omega sen\theta sen(\Omega t)]$$

Ahora reemplazamos en nuestra energía cinética para cada masa:

$$T_1=\frac{1}{2}m(\dot{x}_1^2+\dot{y}_1^2+\dot{z}_1^2) \qquad T_2=\frac{1}{2}m(\dot{x}_2^2+\dot{y}_2^2+\dot{z}_2^2)$$

$$T_1=\frac{1}{2}m(a^2[\dot{\theta}cos\theta sen(\Omega t)+\Omega sen\theta cos(\Omega t)]^2+a^2\dot{\theta}^2sen^2\theta+a^2[\dot{\theta}cos\theta cos(\Omega t)-\Omega sen\theta sen(\Omega t)]^2)$$

$$T_2=\frac{1}{2}m(4a^2\dot{\theta}^2sen^2\theta)$$

Utilizando la identidad trigonométrica fundamental (sen^2\alpha+cos^2\beta=1) y realizando un poco de álgebra a partir de sumar las energías cinéticas $T=T_1+T_2$:

$$T=\frac{1}{2}ma^2(\dot{\theta}^2+\Omega^2sen^2\theta)+2ma^2\dot{\theta}^2sen^2\theta$$

Por último nos falta hallar la energía potencial, que de acuerdo al diagrama será:

$$U=-2m_1gacos\theta-2m_2gacos\theta$$

Finalmente encontramos nuestro lagrangiano de la forma:

$$L=\frac{1}{2}ma^2(\dot{\theta}^2+\Omega^2sen^2\theta)+2ma^2\dot{\theta}^2sen^2\theta+2(m_1+m_2)gacos\theta$$