Lagrangiano péndulo plano con punto de suspensión a) Capítulo 1

Después de un buen tiempo sin publicar en el blog, he vuelto y continuamos con el item a) 

Péndulo plano, cuyo punto de suspensión:

3.a) se desplaza uniformemente sobre una circunferencia vertical con una frecuencia constante γ:

Recordando que nuestras coordenadas generalizadas son aquellas por donde se efectúa el movimiento, para nuestro caso las coordenada ϕ, pero como tenemos un movimiento circular, este va a tener dependencia explicita por el tiempo, multiplicada por su frecuencia γ, para efectos de facilidad al momento de obtener el lagrangiano, representamos l (la longitud del péndulo), ϕ, a (el radio de la circunferencia), y γt, el ángulo que recorre el péndulo en la circunferencia, respecto a las coordenadas rectangulares x e y en dos triángulos:
Cómo es una masa, entonces tendremos la suma de coordenadas x=x1+x2 e y=y1+y2, que en términos de coordenadas rectangulares es:
x=acos(γt)+lsenϕy=asen(γt)lcosϕ 
(El signo negativo en y, indica mi punto de referencia en la parte inferior del triángulo de la circunferencia, y en la parte superior del triángulo del péndulo)
Las derivadas respecto al tiempo son:
˙x=aγsen(γt)+˙ϕlcosϕ˙y=aγcos(γt)+˙ϕlsenϕ
Ahora elevamos al cuadrado:
˙x2=(aγsen(γt)+˙ϕlcosϕ)2˙y2=(aγcos(γt)+˙ϕlsenϕ)2
Reemplazamos en nuestra energía cinética para nuestra masa m:
T=12m(˙x2+˙y2)
T=12m[(aγsen(γt)+˙ϕlcosϕ)2+(aγcos(γt)+˙ϕlsenϕ)2]
Realizamos un poco de álgebra, y vamos a utilizar la identidad trigonométrica fundamental (sen2θ+cos2θ=1) con θ=ϕ y también θ=γt, además de utilizar la identidad de ángulo doble para la función seno 
(sen(θ±ζ)=senθcosζ±senζcosθ), con θ=ϕ y ζ=γt
Obteniendo así la energía cinética:
T=12m[l2˙ϕ2+a2γ2+2˙ϕalγsen(ϕγt)]
Aunque el lagrangiano es la resta de la energía cinética y la energía potencial:
L=TU
Luego la energía potencial va a estar representada cómo:
U=mglcosϕ
Y es posible que por nuestra mente se pase la idea que debe tener componentes de acuerdo al triángulo rectángulo ubicado en la parte superior, en función de γt, pero hay una sencilla razón para no colocar dicha energía potencial, dado que no va a ser la misma en todo el circulo, eso puede representar un problema aparentemente, pero si sumamos cada componente que genere energía potencial, por la simetría del circulo, todas se van a anular, y no nos va a iinteresar esas componentes, sólo nos va a importar aquella que depende de ϕ.
Luego podemos escribir el lagrangiano cómo:
L=12ml2˙ϕ2+a2γ2+˙ϕalγsen(ϕγt)+mglcosϕ
Si se omiten los términos constantes (esto quiere decir que igualmente que tomamos sólo una curva de la familia de curvas), llegamos finalmente a nuestro lagrangiano:
L=12ml2˙ϕ2+˙ϕalγsen(ϕγt)+mglcosϕ

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