Lagrangiano péndulo plano con punto de suspensión a) Capítulo 1

Después de un buen tiempo sin publicar en el blog, he vuelto y continuamos con el item a) 

Péndulo plano, cuyo punto de suspensión:

3.a) se desplaza uniformemente sobre una circunferencia vertical con una frecuencia constante $\gamma$:

Recordando que nuestras coordenadas generalizadas son aquellas por donde se efectúa el movimiento, para nuestro caso las coordenada $\phi$, pero como tenemos un movimiento circular, este va a tener dependencia explicita por el tiempo, multiplicada por su frecuencia $\gamma$, para efectos de facilidad al momento de obtener el lagrangiano, representamos $l$ (la longitud del péndulo), $\phi$, $a$ (el radio de la circunferencia), y $\gamma t$, el ángulo que recorre el péndulo en la circunferencia, respecto a las coordenadas rectangulares $x$ e $y$ en dos triángulos:

Cómo es una masa, entonces tendremos la suma de coordenadas $x=x_1+x_2$ e $y=y_1+y_2$, que en términos de coordenadas rectangulares es:

\[x=acos(\gamma t)+lsen\phi \qquad y=asen(\gamma t)-lcos\phi\] 

(El signo negativo en $y$, indica mi punto de referencia en la parte inferior del triángulo de la circunferencia, y en la parte superior del triángulo del péndulo)

Las derivadas respecto al tiempo son:

\[\dot{x}=-a\gamma sen(\gamma t)+\dot{\phi}lcos\phi \qquad \dot{y}=a\gamma cos(\gamma t)+\dot{\phi}lsen\phi\]

Ahora elevamos al cuadrado:

\[\dot{x}^2=(-a\gamma sen(\gamma t)+\dot{\phi}lcos\phi)^2 \qquad \dot{y}^2=(a\gamma cos(\gamma t)+\dot{\phi}lsen\phi)^2\]

Reemplazamos en nuestra energía cinética para nuestra masa $m$:

\[T=\frac{1}{2}m(\dot{x}^2+\dot{y}^2)\]

\[T=\frac{1}{2}m[(-a\gamma sen(\gamma t)+\dot{\phi}lcos\phi)^2+(a\gamma cos(\gamma t)+\dot{\phi}lsen\phi)^2]\]

Realizamos un poco de álgebra, y vamos a utilizar la identidad trigonométrica fundamental ($sen^2\theta+cos^2\theta=1$) con $\theta=\phi$ y también $\theta=\gamma t$, además de utilizar la identidad de ángulo doble para la función seno 

($sen(\theta\pm\zeta)=sen\theta cos\zeta\pm sen\zeta cos\theta$), con $\theta=\phi$ y $\zeta=\gamma t$

Obteniendo así la energía cinética:

\[T=\frac{1}{2}m[l^2\dot{\phi}^2+a^2\gamma^2+2\dot{\phi}al\gamma sen(\phi-\gamma t)]\]

Aunque el lagrangiano es la resta de la energía cinética y la energía potencial:

\[L=T-U\]

Luego la energía potencial va a estar representada cómo:

\[U=-mglcos\phi\]

Y es posible que por nuestra mente se pase la idea que debe tener componentes de acuerdo al triángulo rectángulo ubicado en la parte superior, en función de $\gamma t$, pero hay una sencilla razón para no colocar dicha energía potencial, dado que no va a ser la misma en todo el circulo, eso puede representar un problema aparentemente, pero si sumamos cada componente que genere energía potencial, por la simetría del circulo, todas se van a anular, y no nos va a iinteresar esas componentes, sólo nos va a importar aquella que depende de $\phi$.

Luego podemos escribir el lagrangiano cómo:

\[L=\frac{1}{2}ml^2\dot{\phi}^2+a^2\gamma^2+\dot{\phi}al\gamma sen(\phi-\gamma t)+mglcos\phi\]

Si se omiten los términos constantes (esto quiere decir que igualmente que tomamos sólo una curva de la familia de curvas), llegamos finalmente a nuestro lagrangiano:

\[L=\frac{1}{2}ml^2\dot{\phi}^2+\dot{\phi}al\gamma sen(\phi-\gamma t)+mglcos\phi\]