Lagrangiano péndulo plano con punto de suspensión c) Capítulo 1

 Está es la parte final del tercer punto, que finalizamos con el ítem c):

Péndulo plano cuyo punto de suspensión:

3.c) Oscila verticalmente según la ley $y=acos(\gamma t)$:

Cómo las coordenadas generalizadas son aquellas por donde se efectúa el movimiento, el péndulo se mueve verticalmente de acuerdo a la ley $y=acos(\gamma t)$ y mediante la coordenada $\phi$, que se pueden descomponer en coordenadas rectangulares mediante un triángulo:

Como es una única masa, sumamos las coordenadas $y=y_1+y_2$ e $x=x_1$, con nuestro punto de referencia ubicado de acuerdo al esquema anterior, así:

$$x=lsen\phi \qquad y=acos(\gamma t)-lcos\phi$$

Y sus respectivas derivadas respecto al tiempo:

$$\dot{x}=\dot{\phi}lcos\phi \qquad \dot{y}=-a\gamma sen(\gamma t)+\dot{\phi}lsen\phi$$

Reemplazamos en nuestra energía cinética:

$$T=\frac{1}{2}m[\dot{x}^2+\dot{y}^2]$$

$$T=\frac{1}{2}m[\dot{\phi}^2l^2cos^2\phi+(-a\gamma sen(\gamma t)+\dot{\phi}lsen\phi)^2]$$

Haciendo un poco de álgebra y utilizando la identidad trigonométrica fundamental ($sen^2\phi+cos^2\phi=1$)

Hallamos la energía cinética para la masa m:

$$T=\frac{1}{2}m(l^2\dot{\phi}^2-2\dot{\phi}al\gamma sen\phi sen(\gamma t)+a^2\gamma^2sen^2(\gamma t))$$

Cómo el lagrangiano es la resta de la energía cinética con la energía potencial:

$$L=T-U$$

Así nuestra energía potencial que nos falta sólo tiene componente respecto a la coordenada $\phi$, dado que las componentes en $(\gamma t)$, se cancelan entre sí, luego:

$$U=-mglcos\phi$$

Obtenemos nuestro lagrangiano:

$$L=\frac{1}{2}ml^2\dot{\phi}^2-m\dot{\phi}al\gamma sen\phi sen(\gamma t)+\frac{1}{2}ma^2\gamma^2sen^2(\gamma t)+mglcos\phi$$

Que podemos colocar de la forma:

$$L=\frac{1}{2}ml^2\dot{\phi}^2-m\dot{\phi}al\gamma sen\phi sen(\gamma t)+mglcos\phi+\frac{1}{2}ma^2\gamma^2sen^2(\gamma t)$$

Este corresponde a un lagrangiano que es invariante ante las ecuaciones del movimiento de la forma:

$$L'(\phi,\dot{\phi},t)=L(\phi,\dot{\phi},t)+\frac{d}{dt}f(t)$$

Luego podemos omitir la derivada total, y encontramos el lagrangiano buscado:

$$L=\frac{1}{2}ml^2\dot{\phi}^2-m\dot{\phi}al\gamma sen\phi sen(\gamma t)+mglcos\phi$$