Cambio de la dirección del movimiento de la partícula Capítulo 2

Problema seguido de la sección  $\S 7$:

Una partícula de masa $m$ animada de una velocidad $v$, abandona un semiespacio en el cuál su energía potencial es constante e igual a $U_1$, y entra en otro en el cuál su energía potencial es una constante distinta $U_2$. Determinar el cambio de dirección dl movimiento de la partícula.

Normalmente para resolver un problema debemos tener un esquema, y si este no existe, entonces hacer uno que me permita poder resolver el problema con mayor facilidad, así que el problema lo podemos representar como sigue:



Luego esta representación nos va a permitir decir que la partícula con masa $m$ y velocidad $v_i$, va a pasar de un semiespacio con energía potencial $U_1$ a otro semiespacio con energía potencial $U_2$, y como nos interesa obtener el cambio de dirección de $U_1$ a $U_2$, luego sólo tenemos en cuenta las componentes verticales de cada una de las velocidades:
Así por conservación de la energía tenemos:
\[\Delta E=0\]
\[\frac{1}{2}mv_1^2+U_1=\frac{1}{2}mv_2^2+U_2\]
Despejamos las energías potenciales:
\[U_1-U_2=\frac{1}{2}mv_2^2-\frac{1}{2}mv_1^2\]
Cómo el momento lineal se conserva, luego tenemos:
\[p_1=p_2\]
\[mv_1=mv_2\]
En términos de $sen\theta$
\[v_1 sen\theta_1=v_2 sen\theta_2\]
Despejamos $v_2$, para dejarlo en términos de $v_1$:
\[v_2=\frac{sen\theta_1}{sen\theta_2}v_1\]
Luego es posible reemplazar en el despeje de las energías potenciales:
\[U_1-U_2=\frac{1}{2}m\left(\frac{sen\theta_1}{sen\theta_2}v_1\right)^2-\frac{1}{2}mv_1^2\]
Factorizamos $\frac{1}{2}mv_1^2$:
\[U_1-U_2=\frac{1}{2}mv_1^2\left[\left(\frac{sen\theta_1}{sen\theta_2}\right)^2-1\right]\]
Podemos ver que ahora es mas sencillo despejar $\frac{sen\theta_1}{sen\theta_2}$:
\[\frac{2}{mv_1^2}(U_1-U_2)=\left(\frac{sen\theta_1}{sen\theta_2}\right)^2-1\]
\[\frac{2}{mv_1^2}(U_1-U_2)+1=\left(\frac{sen\theta_1}{sen\theta_2}\right)^2\]
\[\sqrt{\frac{2}{mv_1^2}(U_1-U_2)+1}=\frac{sen\theta_1}{sen\theta_2}\]
Encontrando finalmente la respuesta:
\[\frac{sen\theta_1}{sen\theta_2}=\sqrt{\frac{2}{mv_1^2}(U_1-U_2)+1}\]




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