Cambio de la dirección del movimiento de la partícula Capítulo 2

Problema seguido de la sección  $\S 7$:

Una partícula de masa $m$ animada de una velocidad $v$, abandona un semiespacio en el cuál su energía potencial es constante e igual a $U_1$, y entra en otro en el cuál su energía potencial es una constante distinta $U_2$. Determinar el cambio de dirección dl movimiento de la partícula.

Normalmente para resolver un problema debemos tener un esquema, y si este no existe, entonces hacer uno que me permita poder resolver el problema con mayor facilidad, así que el problema lo podemos representar como sigue:

Luego esta representación nos va a permitir decir que la partícula con masa $m$ y velocidad $v_i$, va a pasar de un semiespacio con energía potencial $U_1$ a otro semiespacio con energía potencial $U_2$, y como nos interesa obtener el cambio de dirección de $U_1$ a $U_2$, luego sólo tenemos en cuenta las componentes verticales de cada una de las velocidades:

Así por conservación de la energía tenemos:

$$\Delta E=0$$

$$\frac{1}{2}mv_1^2+U_1=\frac{1}{2}mv_2^2+U_2$$

Despejamos las energías potenciales:

$$U_1-U_2=\frac{1}{2}mv_2^2-\frac{1}{2}mv_1^2$$

Cómo el momento lineal se conserva, luego tenemos:

$$p_1=p_2$$

$$mv_1=mv_2$$

En términos de $sen\theta$

$$v_1 sen\theta_1=v_2 sen\theta_2$$

Despejamos $v_2$, para dejarlo en términos de $v_1$:

$$v_2=\frac{sen\theta_1}{sen\theta_2}v_1$$

Luego es posible reemplazar en el despeje de las energías potenciales:

$$U_1-U_2=\frac{1}{2}m\left(\frac{sen\theta_1}{sen\theta_2}v_1\right)^2-\frac{1}{2}mv_1^2$$

Factorizamos $\frac{1}{2}mv_1^2$:

$$U_1-U_2=\frac{1}{2}mv_1^2\left[\left(\frac{sen\theta_1}{sen\theta_2}\right)^2-1\right]$$

Podemos ver que ahora es mas sencillo despejar $\frac{sen\theta_1}{sen\theta_2}$:

$$\frac{2}{mv_1^2}(U_1-U_2)=\left(\frac{sen\theta_1}{sen\theta_2}\right)^2-1$$

$$\frac{2}{mv_1^2}(U_1-U_2)+1=\left(\frac{sen\theta_1}{sen\theta_2}\right)^2$$

$$\sqrt{\frac{2}{mv_1^2}(U_1-U_2)+1}=\frac{sen\theta_1}{sen\theta_2}$$

Encontrando finalmente la respuesta:

$$\frac{sen\theta_1}{sen\theta_2}=\sqrt{\frac{2}{mv_1^2}(U_1-U_2)+1}$$