Campo de un cono homogéneo Capítulo 2

 Los siguientes problemas van a estar dedicados uno a uno en diferente página para evitar demasiado texto y corresponde a los presentes después de la sección $\S 9$:

3. Indicar las componentes del ímpetu $\mathbf{p}$ y del momento cinético $\mathbf{M}$ que se conservan en un movimiento dentro de los siguientes campos:

f) Campo de un cono homogéneo.

Su lagrangiano expresado en coordenadas rectangulares es:

\[L=\frac{1}{2}m(\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2)-U(\mathbf{r_1},\mathbf{r_2},...)\]

La transformación de coordenadas rectangulares a las coordenadas de un cono es similar a las coordenadas esféricas, pero con la diferencia que el ángulo $\theta$ va a permanecer constante:

\[x=rsen\theta cos\phi \qquad y=rsen\theta sen\phi \qquad z=rcos\theta\]

Y sus derivadas respecto al tiempo:

\[\dot{x}=\dot{r}sen\theta cos\phi-r\dot{\phi}sen\theta sen\phi \qquad \dot{y}=\dot{r}sen\theta sen\phi+r\dot{\phi}sen\theta cos\phi \qquad \dot{z}=\dot{r}cos\theta\]

Reemplazando en nuestro lagrangiano:

\[L=\frac{1}{2}m[(\dot{r}sen\theta cos\phi-r\dot{\phi}sen\theta sen\phi)^2+(\dot{r}sen\theta sen\phi+r\dot{\phi}sen\theta cos\phi)^2+(\dot{r}cos\theta)^2]-U(r,\phi)\]

Eliminando algunos términos semejantes y aplicando la identidad trigonométrica fundamental ($sen^2\alpha+cos^2\alpha=1$) obtenemos el siguiente lagrangiano:

\[L=\frac{1}{2}m(\dot{r}^2+r^2\dot{\phi}^2sen^2\theta)-U(r,\phi)\]

Ahora procedemos a calcular las ecuaciones de Euler-Lagrange para cada una de las coordenadas generalizadas (aquellas por donde se efectúa el movimiento) $r$ y $\phi$:

$r$:

\[\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{r}}\right)-\frac{\partial L}{\partial r}=0\]

\[\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial }{\partial \dot{r}}\left(\frac{1}{2}m(\dot{r}^2+r^2\dot{\phi}^2sen^2\theta)-U(r,\phi)\right)\right)-\frac{\partial}{\partial r}\left(\frac{1}{2}m(\dot{r}^2+r^2\dot{\phi}^2sen^2\theta)-U(r,\phi)\right)=0\]

\[\frac{d}{dt}(m\dot{r})-mr\dot{\phi}^2sen^2\theta+\frac{\partial U(r,\phi)}{\partial r}=0\]

Luego $p_r$ no se conserva, pero si nos da la ecuación diferencial asociada a la componente radial:

\[\frac{d}{dt}(m\dot{r})=mr\dot{\phi}^2sen^2\theta-\frac{\partial U(r,\phi)}{\partial r}\]

$\phi$:

\[\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{r}}\right)-\frac{\partial L}{\partial r}=0\]

\[\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial }{\partial \dot{r}}\left(\frac{1}{2}m(\dot{r}^2+r^2\dot{\phi}^2sen^2\theta)-U(r,\phi)\right)\right)-\frac{\partial}{\partial r}\left(\frac{1}{2}m(\dot{r}^2+r^2\dot{\phi}^2sen^2\theta)-U(r,\phi)\right)=0\]

\[\frac{d}{dt}(mr^2sen^2\theta\dot{\phi})+\frac{\partial U(r,\phi)}{\partial \phi}=0\]

Vemos que $p_\phi$ tampoco se conserva, pero resulta en la ecuación diferencial asociada a la componente azimutal $\phi$:

\[\frac{d}{dt}(mr^2sen^2\theta\dot{\phi})=-\frac{\partial U(r,\phi)}{\partial \phi}\]

Procedemos a calcular las componentes del momento angular:

\[m\mathbf{r}\times\mathbf{v}=m(y\dot{z}-\dot{y}z)i+m(z\dot{x}-\dot{z}x)j+m(x\dot{y}-\dot{x}y)k\]

$M_x$:

\[M_x=m(y\dot{z}-\dot{y}z)\]

\[M_x=m[rsen\theta sen\phi(\dot{r}cos\theta)-(\dot{r}sen\theta sen\phi+r\dot{\phi}sen\theta cos\phi)rcos\theta)]\]

\[M_x=m(r^2\dot{\phi}sen\theta cos\theta cos\phi)\]

$M_y$:

\[M_y=m(z\dot{x}-\dot{z}x)\]

\[M_y=m[rcos\theta(\dot{r}sen\theta cos\phi-r\dot{\phi}sen\theta sen\phi)-\dot{r}cos\theta(rsen\theta cos\phi)]\]

\[M_y=-m(r^2\dot{\phi}sen\theta cos\theta sen\phi)\]

$M_z$:

\[M_z=m(x\dot{y}-\dot{x}y)\]

\[M_z=m[rsen\theta cos\phi(\dot{r}sen\theta sen\phi+r\dot{\phi}sen\theta cos\phi)-(\dot{r}sen\theta cos\phi-r\dot{\phi}sen\theta sen\phi)rsen\theta sen\phi]\]

\[M_z=mr^2sen^2\theta\dot{\phi}\]

Es así que la única componente que se conserva corresponde a $M_z$ dado que la transformación de coordenadas $z\rightarrow rcos\theta$ no aparece explícitamente , en cambio en $M_x$ y $M_y$ si aparece explícitamente la transformación de coordenadas $x\rightarrow rsen\theta cos\phi$ e $y\rightarrow rsen\theta sen\phi$ (con el eje del cono $z$) según cómo se describe en el libro.