Campo plano homogéneo e indefinido Capítulo 2
Los siguientes problemas van a estar dedicados uno a uno en diferente página para evitar demasiado texto y corresponde a los presentes después de la sección §9:
3. Indicar las componentes del ímpetu p y del momento cinético M que se conservan en un movimiento dentro de los siguientes campos:
a)Campo plano homogéneo e indefinido
Cómo es un campo plano, luego su lagrangiano corresponde a:
L=12m(˙x2+˙y2)−U(r1,r2,...)
Luego como no hay interacción de otro cuerpo en el campo plano homogéneo e indefinido es posible considerarla como constante, ahora aplicamos las ecuaciones de Euler-Lagrange para cada coordenada generalizada (x e y):
x:
ddt(∂L∂˙x)−∂L∂x=0
ddt(∂∂˙x(12m(˙x2+˙y2)−U))−∂∂x(12m(˙x2+˙y2)−U)=0
ddt(m˙x)=0⇒m˙x=cte
Cómo m˙x=px, luego px se conserva. (Porque no aparece la coordenada x explicitamente)
y:
ddt(∂L∂˙y)−∂L∂y=0
ddt(∂∂˙y(12m(˙x2+˙y2)−U))−∂∂y(12m(˙x2+˙y2)−U)=0
ddt(m˙y)=0⇒m˙y=cte
Cómo m˙y=py, luego py se conserva (Porque no aparece la coordenada x explicitamente)
Debido a que la partícula sólo se puede mover a través del plano homogéneo e indefinido, la única componente del momento angular que se puede calcular corresponde a Mz:
Mz=m(x˙y−y˙x)
Luego está componente se conserva o es una integral del movimiento, porque sin importar que tanto se rote el eje z, la partícula va a permanecer invariante ante esta rotación, o en términos más sencillos la coordenada z no aparece explícitamente en la componente del momento angular.
Por lo tanto las integrales de movimiento presentes en este caso son px, py y Mz
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