Campo plano homogéneo e indefinido Capítulo 2

Los siguientes problemas van a estar dedicados uno a uno en diferente página para evitar demasiado texto y corresponde a los presentes después de la sección $\S 9$:

3. Indicar las componentes del ímpetu $\mathbf{p}$ y del momento cinético $\mathbf{M}$ que se conservan en un movimiento dentro de los siguientes campos:

a)Campo plano homogéneo e indefinido

Cómo es un campo plano, luego su lagrangiano corresponde a:

\[L=\frac{1}{2}m(\dot{x}^2+\dot{y}^2)-U(\mathbf{r_1},\mathbf{r_2},...)\]

Luego como no hay interacción de otro cuerpo en el campo plano homogéneo e indefinido es posible considerarla como constante, ahora aplicamos las ecuaciones de Euler-Lagrange para cada coordenada generalizada ($x$ e $y$):

$x$:

\[\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}} \right )-\frac{\partial L}{\partial x}=0\]

\[\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial }{\partial  \dot{x}}\left(\frac{1}{2}m(\dot{x}^2+\dot{y}^2)-U \right ) \right )-\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{1}{2}m(\dot{x}^2+\dot{y}^2)-U \right )=0\]

\[\frac{d}{dt}\left(m\dot{x}\right)=0 \Rightarrow m\dot{x}=cte\]

Cómo $m\dot{x}=p_x$, luego $p_x$ se conserva. (Porque no aparece la coordenada $x$ explicitamente)

$y$:

\[\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{y}} \right )-\frac{\partial L}{\partial y}=0\]

\[\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial }{\partial  \dot{y}}\left(\frac{1}{2}m(\dot{x}^2+\dot{y}^2)-U \right ) \right )-\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{1}{2}m(\dot{x}^2+\dot{y}^2)-U \right )=0\]

\[\frac{d}{dt}\left(m\dot{y}\right)=0 \Rightarrow m\dot{y}=cte\]

Cómo $m\dot{y}=p_y$, luego $p_y$ se conserva (Porque no aparece la coordenada $x$ explicitamente)

Debido a que la partícula sólo se puede mover a través del plano homogéneo e indefinido, la única componente del momento angular que se puede calcular corresponde a $M_z$:

\[M_z=m(x\dot{y}-y\dot{x})\]

Luego está componente se conserva o es una integral del movimiento, porque sin importar que tanto se rote el eje $z$, la partícula va a permanecer invariante ante esta rotación, o en términos más sencillos la coordenada $z$ no aparece explícitamente en la componente del momento angular.

Por lo tanto las integrales de movimiento presentes en este caso son $p_x$, $p_y$ y $M_z$