Campo plano homogéneo e indefinido Capítulo 2

Los siguientes problemas van a estar dedicados uno a uno en diferente página para evitar demasiado texto y corresponde a los presentes después de la sección §9:

3. Indicar las componentes del ímpetu p y del momento cinético M que se conservan en un movimiento dentro de los siguientes campos:

a)Campo plano homogéneo e indefinido

Cómo es un campo plano, luego su lagrangiano corresponde a:

L=12m(˙x2+˙y2)U(r1,r2,...)

Luego como no hay interacción de otro cuerpo en el campo plano homogéneo e indefinido es posible considerarla como constante, ahora aplicamos las ecuaciones de Euler-Lagrange para cada coordenada generalizada (x e y):

x:

ddt(L˙x)Lx=0

ddt(˙x(12m(˙x2+˙y2)U))x(12m(˙x2+˙y2)U)=0

ddt(m˙x)=0m˙x=cte

Cómo m˙x=px, luego px se conserva. (Porque no aparece la coordenada x explicitamente)

y:

ddt(L˙y)Ly=0

ddt(˙y(12m(˙x2+˙y2)U))y(12m(˙x2+˙y2)U)=0

ddt(m˙y)=0m˙y=cte

Cómo m˙y=py, luego py se conserva (Porque no aparece la coordenada x explicitamente)

Debido a que la partícula sólo se puede mover a través del plano homogéneo e indefinido, la única componente del momento angular que se puede calcular corresponde a Mz:

Mz=m(x˙yy˙x)

Luego está componente se conserva o es una integral del movimiento, porque sin importar que tanto se rote el eje z, la partícula va a permanecer invariante ante esta rotación, o en términos más sencillos la coordenada z no aparece explícitamente en la componente del momento angular.

Por lo tanto las integrales de movimiento presentes en este caso son px, py y Mz

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