Campo prismático homogéneo indefinido Capítulo 2

 Los siguientes problemas van a estar dedicados uno a uno en diferente página para evitar demasiado texto y corresponde a los presentes después de la sección $\S 9$:

3. Indicar las componentes del ímpetu $\mathbf{p}$ y del momento cinético $\mathbf{M}$ que se conservan en un movimiento dentro de los siguientes campos:

c) Campo prismático homogéneo indefinido.

Consideremos un campo prismático triangular:

Su lagrangiano expresado en coordenadas rectangulares es:

$$L=\frac{1}{2}m(\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2)-U(\mathbf{r_1},\mathbf{r_2},...)$$

Considerando un prisma triangular, el potencial va a depender del ángulo $\phi$, y en el eje $z$ va a permanecer constante $U(\phi)$ además podemos obtener la transformación de coordenadas de coordenadas rectangulares a las coordenadas asociadas al prisma:

$$x=hsen\phi \qquad y=c cos\phi \qquad z=z$$

De acuerdo a las relaciones trigonométricas tenemos respecto al seno del ángulo $phi$ que $sen\phi=\frac{h}{a}$, a partir de esta información es posible representar $h$ en términos de $\phi$; $h=asen\phi$, y tendremos nuestra transformación de coordenadas de la forma:

$$x=asen^2\phi \qquad y=c cos\phi \qquad z=z$$

Y sus derivadas respecto al tiempo:

$$\dot{x}=2a\dot{\phi}sen\phi cos\phi \qquad \dot{y}=-c\dot{\phi}sen\phi \qquad \dot{z}=\dot{z}$$

Reemplazamos en nuestro lagrangiano:

$$L=\frac{1}{2}m(4a^2\dot{\phi}^2sen^2\phi cos^2\phi+c^2\dot{\phi}^2sen^2\phi+\dot{z}^2)-U(\phi)$$

Factorizando $sen^2\phi$:

$$L=\frac{1}{2}m[\dot{\phi}^2sen^2\phi(4a^2cos^2\phi+c^2)+\dot{z}^2]-U(\phi)$$

El siguiente paso es calcular las ecuaciones de Euler-Lagrange para las coordenadas generalizadas $\phi$ y $z$:

$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{\phi}} \right )-\frac{\partial L}{\partial \phi}=0$$

$$\small{\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial }{\partial  \dot{\phi}}\left(\frac{1}{2}m[\dot{\phi}^2sen^2\phi(4a^2cos^2\phi+c^2)+\dot{z}^2]-U(\phi) \right ) \right )-\frac{\partial }{\partial \phi}\left(\frac{1}{2}m[\dot{\phi}^2sen^2\phi(4a^2cos^2\phi+c^2)+\dot{z}^2]-U(\phi)\right )=0}$$

$\phi$:

$$\frac{d}{dt}(m\dot{\phi}sen^2\phi(4a^2cos^2\phi+c^2))-m\dot{\phi}\left(a^2sen4\phi+\frac{c^2}{2}sen2\phi\right)-\frac{\partial U(\phi)}{\partial \phi}=0$$

En este caso así tengamos la derivada respecto al tiempo igualada a cero, la coordenada $\phi$ aún va a tener dependencia de sí misma, por aparecer explícitamente, luego $p_{\phi}$ no se conserva y obtenemos la siguiente ecuación diferencial:

$$\frac{d}{dt}(m\dot{\phi}sen^2\phi(4a^2cos^2\phi+c^2))=m\dot{\phi}\left(a^2sen4\phi+\frac{c^2}{2}sen2\phi\right)+\frac{\partial U(\phi)}{\partial \phi}$$

$z$:

$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{z}} \right )-\frac{\partial L}{\partial z}=0$$

$$\small{\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial }{\partial  \dot{z}}\left(\frac{1}{2}m[\dot{\phi}^2sen^2\phi(4a^2cos^2\phi+c^2)+\dot{z}^2]-U(\phi) \right ) \right )-\frac{\partial }{\partial z}\left(\frac{1}{2}m[\dot{\phi}^2sen^2\phi(4a^2cos^2\phi+c^2)+\dot{z}^2]-U(\phi) \right )=0}$$

$$\frac{d}{dt}(m\dot{z})=0$$

Así en este caso $p_z=m\dot{z}$ es una magnitud conservada, porque su derivada respecto al tiempo está igualada a cero.

Ahora procedemos a calcular las componentes del momento angular:

$$m\mathbf{r}\times\mathbf{v}=m(y\dot{z}-\dot{y}z)i+m(z\dot{x}-\dot{z}x)j+m(x\dot{y}-\dot{x}y)k$$

$M_x$:

$$M_x=m(y\dot{z}-\dot{y}z)$$

$$M_x=m(c cos\phi\dot{z}+c\dot{\phi}sen\phi z)$$

$M_y$:

$$M_y=m(z\dot{x}-\dot{z}x)$$

$$M_y=m(z2a\dot{\phi}sen\phi cos\phi-\dot{z}asen^2\phi)$$

$$M_y=m[asen\phi(2z\dot{\phi}cos\phi-\dot{z}sen\phi)]$$

$M_z$:

$$M_z=m(x\dot{y}-\dot{x}y)$$

$$M_z=m(asen^2\phi(-c\dot{\phi}sen\phi)-2a\dot{\phi}sen\phi cos\phi(c cos\phi))$$

$$M_z=-ac\dot{\phi}cos^2\phi sen\phi$$

Hasta el momento las dos magnitudes conservadas que tenemos son $p_z$ y $M_z$, pero según la respuesta del libro, la única magnitud conservada es $p_z$, así que en este caso voy a hacer una suposición donde la distancia $z$, es igual a la multiplicación de los lados $a$ y $c$, luego en este caso $M_z$ no se conservaría, pero me gustaría leer que solución pueden colocar al problema, comenta abajo en los comentarios, recuerda que para escribir una ecuación, escribes el código latex entre $\setminus[$ y $\setminus]$.