Permutación circular demostración sección §9.
Comenzamos nuestras notas para poder entender un poco mejor el libro de Mecánica de Landau, en esta ocasión nos trasladamos a la demostración del momento angular en la sección §9
Enseguida escribiré de forma muy ligera la demostración que se lleva a cabo en color negro, de acuerdo al libro, con unas breves frases que resumen el proceso, y cuándo lleguemos a la permutación circular, les mostrare cómo es posible realizar dicho proceso con una pequeña demostración:
La magnitud de |δr| de acuerdo a la imagen es:
|δr|=rsenθδϕ
Esto se puede expresar cómo un producto vectorial:
δr=δϕ×r
Y su derivada respecto al tiempo:
δv=δϕ×v
Llevando las anteriores expresiones a la condición que el lagrangiano no varía por la rotación:
δL=∑a(∂L∂ra⋅δra+∂L∂va⋅δva)=0
Sustituyendo de acuerdo a las definiciones que se obtienen directamente de las ecuaciones de Euler-Lagrange y las anteriores igualdades:
ddt(∂L∂˙ra)=∂L∂ra
∂L∂va=pa∂L∂ra=˙pa
Obtenemos:
δL=∑a(˙pa⋅δϕ×ra+pa⋅δϕ×va)=0
En dónde mediante la permutación circular debemos sacar el factor δϕ.
En este caso voy a demostrar lo siguiente:
Dados tres vectores cualesquiera A, B y C:
A=a1i+a2j+a3k
B=b1i+b2j+b3k
C=c1i+c2j+c3k
Se cumple que:
A⋅(B×C)=C⋅(A×B)=B⋅(C×A)
Con:
A×B=|ijka1a2a3b1b2b3|=|a2a3b2b3|i+|a3a1b3b1|j+|a1a2b1b2|k
A×B=(a2b3−b2a3)i+(a3b1−b3a1)j+(a1b2−b1a2)k
Por lo tanto si aplicamos el producto punto (⋅) al vector resultante del producto cruz obtenemos el escalar:
C⋅(A×B)=[c1i+c2j+c3k]⋅[(a2b3−b2a3)i+(a3b1−b3a1)j+(a1b2−b1a2)k]
C⋅(A×B)=(a2b3−b2a3)c1+(a3b1−b3a1)c2+(a1b2−b1a2)c3
C⋅(A×B)=a2b3c1−b2a3c1+a3b1c2−b3a1c2+a1b2c3−b1a2c3
Si factorizamos respecto a a1, a2 y a3 obtenemos A⋅(B×C)C⋅(A×B)=(b2c3−c2b3)a1+(b3c1−c3b1)a2+(b1c2−c1b2)a3=A⋅(B×C)
Siguiendo el mismo procedimiento factorizando respecto a a1, a2 y a3 obtenemos B⋅(C×A)
Luego volviendo a nuestra demostración, por esta propiedad es posible expresar:
˙pa⋅δϕ×ra=δϕ⋅ra×˙papa⋅δϕ×va=δϕ⋅va×pa
Reemplazamos las expresiones anteriores en la variación del lagrangiano y tenemos:
∑a(δϕ⋅ra×˙pa+δϕ⋅va×pa)
Factorizamos δϕ y obtenemos:
δϕ⋅∑a(ra×˙pa+va×pa)
El parentesis es la derivada de un producto:
δϕ⋅ddt∑ara×pa=0
Puesto que δϕ es arbitrario, resulta:
ddt∑ara×pa=0
Luego se concluye que en el movimiento de un sistema cerrado se conserva la magnitud vectorial:
M≡∑ara×pa
La cuál es el momento angular (o momento cinético) del sistema.
Sí conoces otra forma de demostrar la permutación circular, no dudes de colocarlo en los comentarios, si necesitas colocar ecuaciones puedes utilizar lenguaje latex entre ∖[ y ∖].
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