Transformación de la acción $S$ de un sistema inercial a otro. Capítulo 2.

 Problema seguido de la sección  $\S 8$:

Encontrar la ley de transformación de la acción $S$ cuando se pasa de un sistema inercial a otro.

En este caso el problema no necesita un esquema como representación, sólo necesita manipulación de la acción como sigue:

La acción la definimos cómo:

$$S=\int_{t_1}^{t_2}Ldt$$

Primero encontramos la ley de transformación para el lagrangiano (de cualquier cantidad de partículas):

$$L=T-U$$

$$L=\frac{1}{2}\sum_a m_av_a^2-U$$

De acuerdo a la relatividad de Galileo $v_a=v'_a+v$, así:

$$L=\frac{1}{2}\sum_a m_a(v'_a+v)^2-U$$

Desarrollando el cuadrado tenemos:

$$L=\frac{1}{2}\sum_a m_av_{a}^{'2}+v\cdot \sum_a m_av_{a}^{'}+\frac{1}{2}\sum_a m_av^2-U$$

$$L=\frac{1}{2}\sum_a m_av_{a}^{'2}-U+v\cdot \sum_a m_av_{a}^{'}+\frac{1}{2}\sum_a m_av^2$$

Y esto lo podemos representar cómo:

$$L=L'+v\cdot P'+\frac{1}{2}\mu v^2$$

Integramos está expresión respecto al tiempo y obtenemos la ley de transformación para la acción:

$$\int_{t_1}^{t_2}Ldt=\int_{t_1}^{t_2}(L'+v\cdot P'+\frac{1}{2}\mu v^2)dt$$

Por linealidad

$$\int_{t_1}^{t_2}Ldt=\int_{t_1}^{t_2}L'dt+\int_{t_1}^{t_2}v\cdot P'dt+\frac{1}{2}\int_{t_1}^{t_2}\mu v^2)dt$$

Con $P'=\mu v^{'}_a$, la segunda integral queda cómo:

$$\int_{t_1}^{t_2}v\cdot P'dt=\int_{t_1}^{t_2}v\cdot \mu v^{'}_a dt$$

Debemos tener en cuenta que $v$ es constante, así la ley de transformación será:

$$\int_{t_1}^{t_2}Ldt=\int_{t_1}^{t_2}L'dt+\int_{t_1}^{t_2}v\cdot \mu v^{'}_a dt+\frac{1}{2}\int_{t_1}^{t_2}\mu v^2dt$$

$$S=S'+\mu v\cdot R'+\frac{1}{2}\mu v^2t$$

Acá $R'$ es el radio vector del centro de masa en el sistema de referencia $K'$