Transformación de la acción $S$ de un sistema inercial a otro. Capítulo 2.

 Problema seguido de la sección  $\S 8$:

Encontrar la ley de transformación de la acción $S$ cuando se pasa de un sistema inercial a otro.

En este caso el problema no necesita un esquema como representación, sólo necesita manipulación de la acción como sigue:

La acción la definimos cómo:

\[S=\int_{t_1}^{t_2}Ldt\]

Primero encontramos la ley de transformación para el lagrangiano (de cualquier cantidad de partículas):

\[L=T-U\]

\[L=\frac{1}{2}\sum_a m_av_a^2-U\]

De acuerdo a la relatividad de Galileo $v_a=v'_a+v$, así:

\[L=\frac{1}{2}\sum_a m_a(v'_a+v)^2-U\]

Desarrollando el cuadrado tenemos:

\[L=\frac{1}{2}\sum_a m_av_{a}^{'2}+v\cdot \sum_a m_av_{a}^{'}+\frac{1}{2}\sum_a m_av^2-U\]

\[L=\frac{1}{2}\sum_a m_av_{a}^{'2}-U+v\cdot \sum_a m_av_{a}^{'}+\frac{1}{2}\sum_a m_av^2\]

Y esto lo podemos representar cómo:

\[L=L'+v\cdot P'+\frac{1}{2}\mu v^2\]

Integramos está expresión respecto al tiempo y obtenemos la ley de transformación para la acción:

\[\int_{t_1}^{t_2}Ldt=\int_{t_1}^{t_2}(L'+v\cdot P'+\frac{1}{2}\mu v^2)dt\]

Por linealidad

\[\int_{t_1}^{t_2}Ldt=\int_{t_1}^{t_2}L'dt+\int_{t_1}^{t_2}v\cdot P'dt+\frac{1}{2}\int_{t_1}^{t_2}\mu v^2)dt\]

Con $P'=\mu v^{'}_a$, la segunda integral queda cómo:

\[\int_{t_1}^{t_2}v\cdot P'dt=\int_{t_1}^{t_2}v\cdot \mu v^{'}_a dt\]

Debemos tener en cuenta que $v$ es constante, así la ley de transformación será:

\[\int_{t_1}^{t_2}Ldt=\int_{t_1}^{t_2}L'dt+\int_{t_1}^{t_2}v\cdot \mu v^{'}_a dt+\frac{1}{2}\int_{t_1}^{t_2}\mu v^2dt\]

\[S=S'+\mu v\cdot R'+\frac{1}{2}\mu v^2t\]

Acá $R'$ es el radio vector del centro de masa en el sistema de referencia $K'$

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