Valor del módulo del momento angular para una partícula en coordenadas cilíndricas Capítulo 2
El siguiente problema corresponde a los presentes después de la sección §9:
1. Hallar las expresiones de las componentes cartesianas y el valor del módulo del momento angular de una partícula cuyas coordenadas cilíndricas son r, ϕ, z.
Las coordenadas de transformación para una partícula de coordenadas cilíndricas en términos de coordenadas rectangulares es:
x=rcosϕy=rsenϕz=z
Y sus derivadas respecto al tiempo son:
˙x=˙rcosϕ−r˙ϕsenϕ˙y=˙rsenϕ+r˙ϕcosϕ˙z=˙z
Las componentes del momento angular se pueden calcular cómo:
r×p=mr×v=|ijkxyz˙x˙y˙z|=|yz˙y˙z|i+|zx˙z˙x|j+|xy˙x˙y|k
mr×v=m(y˙z−˙yz)i+m(z˙x−˙zx)j+m(x˙y−˙xy)k
Calculamos cada una de las componentes:
Mx:
Mx=m[rsenϕ˙z−(˙rsenϕ−r˙ϕcosϕ)z]
Mx=m[rsenϕ˙z−z˙rsenϕ−zr˙ϕcosϕ]
Factorizando senϕ
Mx=m(r˙z−˙rz)senϕ−mzr˙ϕcosϕ
My:
My=m[z(˙rcosϕ−r˙ϕsenϕ)−˙zrcosϕ]
My=m[z˙rcosϕ−zr˙ϕsenϕ−˙zrcosϕ]
Factorizando cosϕ
My=m(z˙r−˙zr)cosϕ−mzr˙ϕsenϕ
Mz:
Mz=m[(rcosϕ)(˙rsenϕ+r˙ϕcosϕ)−(˙rcosϕ−r˙ϕsenϕ)(rsenϕ)]
Mz=m[r˙rcosϕsenϕ+r2˙ϕcos2ϕ−r˙rcosϕsenϕ+r2˙ϕsen2ϕ]
Algunos términos se eliminan y aplicamos la identidad trigonométrica fundamental:
Mz=mr2˙ϕ
Ahora calculamos M2
M2=M⋅M=M2x+M2y+M2z
M2=[m(r˙z−˙rz)senϕ−mzr˙ϕcosϕ]2+[m(z˙r−˙zr)cosϕ−mzr˙ϕsenϕ]2+[mr2˙ϕ]2
Reaizando un poco de álgebra elemental llegamos al resultado:
M2=m2r2˙ϕ2(r2+z2)+m2(r˙z−˙rz)2
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