Valor del módulo del momento angular para una partícula en coordenadas cilíndricas Capítulo 2

El siguiente problema corresponde a los presentes después de la sección $\S 9$:

1. Hallar las expresiones de las componentes cartesianas y el valor del módulo del momento angular de una partícula cuyas coordenadas cilíndricas son $r$, $\phi$, $z$.

Las coordenadas de transformación para una partícula de coordenadas cilíndricas en términos de coordenadas rectangulares es:

\[x=rcos\phi \qquad y=rsen\phi \qquad z=z\]

Y sus derivadas respecto al tiempo son:

\[\dot{x}=\dot{r}cos\phi-r\dot{\phi}sen\phi \qquad \dot{y}=\dot{r}sen\phi+r\dot{\phi}cos\phi \qquad \dot{z}=\dot{z}\]

Las componentes del momento angular se pueden calcular cómo:

\[\mathbf{r}\times\mathbf{p}=m\mathbf{r}\times\mathbf{v}=\begin{vmatrix}i & j & k\\ x & y & z\\ \dot{x} & \dot{y} & \dot{z}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}y & z\\ \dot{y} & \dot{z}\end{vmatrix}i+\begin{vmatrix}z & x\\ \dot{z} & \dot{x}\end{vmatrix}j+\begin{vmatrix}x & y\\ \dot{x} & \dot{y}\end{vmatrix}k\]

\[m\mathbf{r}\times\mathbf{v}=m(y\dot{z}-\dot{y}z)i+m(z\dot{x}-\dot{z}x)j+m(x\dot{y}-\dot{x}y)k\]

Calculamos cada una de las componentes:

$M_x$:

\[M_x=m[rsen\phi\dot{z}-(\dot{r}sen\phi  - r\dot{\phi}cos\phi)z ]\]

\[M_x=m[rsen\phi\dot{z}-z\dot{r}sen\phi  - zr\dot{\phi}cos\phi ]\]

Factorizando $sen\phi$

\[M_x=m(r\dot{z}-\dot{r}z)sen\phi - mzr\dot{\phi}cos\phi \]

$M_y$:

\[M_y=m[z(\dot{r}cos\phi-r\dot{\phi}sen\phi)-\dot{z}rcos\phi]\]

\[M_y=m[z\dot{r}cos\phi-zr\dot{\phi}sen\phi-\dot{z}rcos\phi]\]

Factorizando $cos\phi$

\[M_y=m(z\dot{r}-\dot{z}r)cos\phi-mzr\dot{\phi}sen\phi\]

$M_z$:

\[M_z=m[(rcos\phi)(\dot{r}sen\phi+r\dot{\phi}cos\phi)-(\dot{r}cos\phi-r\dot{\phi}sen\phi)(rsen\phi)]\]

\[M_z=m[r\dot{r}cos\phi sen\phi+r^2\dot{\phi} cos^2\phi-r\dot{r}cos\phi sen\phi+r^2\dot{\phi} sen^2\phi]\]

Algunos términos se eliminan y aplicamos la identidad trigonométrica fundamental:

\[M_z=mr^2\dot{\phi}\]

Ahora calculamos $M^2$

\[M^2=\mathbf{M}\cdot \mathbf{M}=M_{x}^{2}+M_{y}^{2}+M_{z}^{2}\]

\[M^2=[m(r\dot{z}-\dot{r}z)sen\phi - mzr\dot{\phi}cos\phi]^2+[m(z\dot{r}-\dot{z}r)cos\phi-mzr\dot{\phi}sen\phi]^2+[mr^2\dot{\phi}]^2\]

Reaizando un poco de álgebra elemental llegamos al resultado:

\[M^2=m^2r^2\dot{\phi}^2(r^2+z^2)+m^2(r\dot{z}-\dot{r}z)^2\]