Valor del módulo del momento angular para una partícula en coordenadas esféricas Capítulo 2

 El siguiente problema corresponde a los presentes después de la sección $\S 9$:

2. Hallar las expresiones de las componentes cartesianas y el valor del módulo del momento angular de una partícula cuyas coordenadas esféricas son $r$, $\theta$, $\phi$.

Las coordenadas de transformación para una partícula de coordenadas esféricas en términos de coordenadas rectangulares es:

\[x=rsen\theta cos\phi \qquad y=rsen\theta sen\phi \qquad z=rcos\theta\]

Y sus derivadas respecto al tiempo:

\[\dot{x}=\dot{r}sen\theta cos\phi+r\dot{\theta}cos\theta cos\phi-r\dot{\phi}sen\theta sen\phi\qquad \dot{y}=\dot{r}sen\theta sen\phi+r\dot{\theta}cos\theta sen\phi+r\dot{\phi}sen\theta cos\phi\]

\[\dot{z}=\dot{r}cos\theta-r\dot{\theta}sen\theta\]

Las componentes del momento angular las calculamos así:

\[\mathbf{r}\times\mathbf{p}=m\mathbf{r}\times\mathbf{v}=\begin{vmatrix}i & j & k\\ x & y & z\\ \dot{x} & \dot{y} & \dot{z}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}y & z\\ \dot{y} & \dot{z}\end{vmatrix}i+\begin{vmatrix}z & x\\ \dot{z} & \dot{x}\end{vmatrix}j+\begin{vmatrix}x & y\\ \dot{x} & \dot{y}\end{vmatrix}k\]

\[m\mathbf{r}\times\mathbf{v}=m(y\dot{z}-\dot{y}z)i+m(z\dot{x}-\dot{z}x)j+m(x\dot{y}-\dot{x}y)k\]

Calculamos cada una de las componentes:

$M_x$:

\[M_x=m[rsen\theta sen\phi(\dot{r}cos\theta-r\dot{\theta}sen\theta)-(\dot{r}sen\theta sen\phi+r\dot{\theta}cos\theta sen\phi+r\dot{\phi}sen\theta cos\phi)rcos\theta]\]

Al momento de hacer la distribución es posible cancelar o eliminar algunos términos y también factorizar $-r^2$ llegando a:

\[M_x=-mr^2[\dot{\theta}sen^2\theta sen\phi+\dot{\theta}cos^2\theta sen\phi+\dot{\phi}cos\theta sen\theta cos\phi]\]

Y aplicando la identidad trigonométrica fundamental encontramos el resultado:

\[M_x=-mr^2(\dot{\theta}sen\phi+\dot{\phi}cos\theta sen\theta cos\phi)\]

$M_y$:

\[M_y=m[rcos\theta(\dot{r}sen\theta cos\phi+r\dot{\theta}cos\theta cos\phi-r\dot{\phi}sen\theta sen\phi)-(\dot{r}cos\theta-r\dot{\theta}sen\theta)rsen\theta cos\phi]\]

Siguiendo un procedimiento casi igual al anterior haciendo un poco de álgebra donde factorizamos $r^2$ y aplicamos la identidad trigonométrica fundamental, encontramos el siguiente resultado:

\[M_y=mr^2(\dot{\theta}cos\phi-\dot{\phi}sen\theta cos\theta sen\phi)\]

$M_z$:

\[\small{M_z=m[rsen\theta cos\phi(\dot{r}sen\theta sen\phi+r\dot{\theta}cos\theta sen\phi+r\dot{\phi}sen\theta cos\phi)-(\dot{r}sen\theta cos\phi+r\dot{\theta}cos\theta cos\phi-r\dot{\phi}sen\theta sen\phi)rsen\theta sen\phi]}\]

Como ya tu intuición te puede estar diciendo, debemos realizar un procedimiento casi igual para llegar al resultado, como un pequeño tip en está clase de ejercicios, si tienes gran cantidad de términos van a poder cancelarse muchos de ellos, y reducir bastante la expresión o colocarla en términos relativamente sencillos, porque en física buscamos siempre la forma de escribir todo de la forma más simplificada posible sin omitir términos de importancia, así eliminando algunos términos y aplicando la identidad trigonométrica fundamental encontramos:

\[M_z=mr^2\dot{\phi}sen^2\theta\]

Ahora calculamos $M^2$:

\[M^2=\mathbf{M}\cdot \mathbf{M}=M_{x}^{2}+M_{y}^{2}+M_{z}^{2}\]

\[M^2=[-mr^2(\dot{\theta}sen\phi+\dot{\phi}cos\theta sen\theta cos\phi)]^2+[mr^2(\dot{\theta}cos\phi-\dot{\phi}sen\theta cos\theta sen\phi)]^2+[mr^2\dot{\phi}sen^2\theta]^2\]

Finalmente realizando un poco más de álgebra llegamos al resultado esperado:

\[M^2=m^2r^4(\dot{\theta}^2+\dot{\phi}^2sen^2\theta)\]