Valor del módulo del momento angular para una partícula en coordenadas esféricas Capítulo 2
El siguiente problema corresponde a los presentes después de la sección §9:
2. Hallar las expresiones de las componentes cartesianas y el valor del módulo del momento angular de una partícula cuyas coordenadas esféricas son r, θ, ϕ.
Las coordenadas de transformación para una partícula de coordenadas esféricas en términos de coordenadas rectangulares es:
x=rsenθcosϕy=rsenθsenϕz=rcosθ
Y sus derivadas respecto al tiempo:
˙x=˙rsenθcosϕ+r˙θcosθcosϕ−r˙ϕsenθsenϕ˙y=˙rsenθsenϕ+r˙θcosθsenϕ+r˙ϕsenθcosϕ
˙z=˙rcosθ−r˙θsenθ
Las componentes del momento angular las calculamos así:
r×p=mr×v=|ijkxyz˙x˙y˙z|=|yz˙y˙z|i+|zx˙z˙x|j+|xy˙x˙y|k
mr×v=m(y˙z−˙yz)i+m(z˙x−˙zx)j+m(x˙y−˙xy)k
Calculamos cada una de las componentes:
Mx:
Mx=m[rsenθsenϕ(˙rcosθ−r˙θsenθ)−(˙rsenθsenϕ+r˙θcosθsenϕ+r˙ϕsenθcosϕ)rcosθ]
Al momento de hacer la distribución es posible cancelar o eliminar algunos términos y también factorizar −r2 llegando a:
Mx=−mr2[˙θsen2θsenϕ+˙θcos2θsenϕ+˙ϕcosθsenθcosϕ]
Y aplicando la identidad trigonométrica fundamental encontramos el resultado:
Mx=−mr2(˙θsenϕ+˙ϕcosθsenθcosϕ)
My:
My=m[rcosθ(˙rsenθcosϕ+r˙θcosθcosϕ−r˙ϕsenθsenϕ)−(˙rcosθ−r˙θsenθ)rsenθcosϕ]
Siguiendo un procedimiento casi igual al anterior haciendo un poco de álgebra donde factorizamos r2 y aplicamos la identidad trigonométrica fundamental, encontramos el siguiente resultado:
My=mr2(˙θcosϕ−˙ϕsenθcosθsenϕ)
Mz:
Mz=m[rsenθcosϕ(˙rsenθsenϕ+r˙θcosθsenϕ+r˙ϕsenθcosϕ)−(˙rsenθcosϕ+r˙θcosθcosϕ−r˙ϕsenθsenϕ)rsenθsenϕ]
Como ya tu intuición te puede estar diciendo, debemos realizar un procedimiento casi igual para llegar al resultado, como un pequeño tip en está clase de ejercicios, si tienes gran cantidad de términos van a poder cancelarse muchos de ellos, y reducir bastante la expresión o colocarla en términos relativamente sencillos, porque en física buscamos siempre la forma de escribir todo de la forma más simplificada posible sin omitir términos de importancia, así eliminando algunos términos y aplicando la identidad trigonométrica fundamental encontramos:
Mz=mr2˙ϕsen2θ
Ahora calculamos M2:
M2=M⋅M=M2x+M2y+M2z
M2=[−mr2(˙θsenϕ+˙ϕcosθsenθcosϕ)]2+[mr2(˙θcosϕ−˙ϕsenθcosθsenϕ)]2+[mr2˙ϕsen2θ]2
Finalmente realizando un poco más de álgebra llegamos al resultado esperado:
M2=m2r4(˙θ2+˙ϕ2sen2θ)
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