Campo de un semiplano homogéneo indefinido Capítulo 2

Los siguientes problemas van a estar dedicados uno a uno en diferente página para evitar demasiado texto y corresponde a los presentes después de la sección $\S 9$:

3. Indicar las componentes del ímpetu $\mathbf{p}$ y del momento cinético $\mathbf{M}$ que se conservan en un movimiento dentro de los siguientes campos:

e) Campo de un semiplano homogéneo indefinido.

Aunque está vez no puedo mostrarte un esquema para representar un semiplano homogéneo indefinido, pues está vez tienes que utilizar tu imaginación (igualmente si sabes cómo es el semiplano, me puedes dejar la imagen en los comentarios y con mucho gusto la reemplazare) la pista que nos deja Landau para imaginar el semiplano es la siguiente: "Siendo el semiplano indefinido la parte del plano $x$, y limitada por el eje $y$."
Como es un semiplano tengo un posible lagrangiano para que sea $p_y$ la única componente que se conserve, dadas algunas consideraciones.
Consideremos un lagrangiano para una partícula que sólo tiene componente en $y$:
\[L=\frac{1}{2}m\dot{y}^2-U\]
En este caso va a tener un potencial constante, dado que la partícula se mueve unidireccionalmente, así que calculando las ecuaciones de Euler-Lagrange respecto a su única coordenada generalizada $y$:
\[\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{y}}\right)-\frac{\partial L}{\partial y}=0\]
\[\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial }{\partial \dot{y}}\left(\frac{1}{2}m\dot{y}^2-U\right)\right)-\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{1}{2}m\dot{y}^2-U\right)=0\]
\[\frac{d}{dt}(m\dot{y})=0\]
Luego $p_y$ se conserva, porque es el único movimiento posible, luego si está afirmación es del todo cierta, no podrá rotar, pues esto implicaría un movimiento, por lo tanto no existen componentes del momento angular.
Si tienes otra forma de abordar el problema te leo en los comentarios, si necesitas escribir con ecuaciones, utiliza lenguaje latex y encierralo entre $\setminus[$ y $\setminus]$

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