Campo de una hélice cilíndrica homogénea indefinida Capítulo 2

 Los siguientes problemas van a estar dedicados uno a uno en diferente página para evitar demasiado texto y corresponde a los presentes después de la sección $\S 9$:

3. Indicar las componentes del ímpetu $\mathbf{p}$ y del momento cinético $\mathbf{M}$ que se conservan en un movimiento dentro de los siguientes campos:

g) Campo de un toro circular homogéneo.

Su lagrangiano expresado en coordenadas rectangulares es:

$$L=\frac{1}{2}m(\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2)-U(\mathbf{r_1},\mathbf{r_2},...)$$

La transformación de coordenadas rectangulares a las coordenadas de la hélice es:

$$x=rcos(\omega t) \qquad y=\epsilon rsen(\omega t) \qquad z=ht$$

Dónde $\omega$ es el ángulo girado por unidad de tiempo, $t$ es el tiempo y $h$ es el avance en el sentido $z$ por unidad de tiempo, $\epsilon=\pm 1$ según el sentido sea levógiro $+1$ (movimiento en contra de las manecillas del reloj) o dextrogiro $-1$ (movimiento a favor de las manecillas del reloj)

Ahora de la transformación de $z$ despejamos $t$ y reemplazamos en las transformaciones de $x$ e $y$:

$$t=\frac{z}{h}$$

$$x=rcos\left(\frac{\omega z}{h}\right) \qquad y=\epsilon rsen\left(\frac{\omega z}{h}\right)$$

Cómo $\omega$ y $h$ son valores constantes los podemos renombrar con $\alpha$ $(\alpha=\frac{\omega}{h})$, tomando el giro levógiro y facilitando los cálculos con la anterior transformación nos queda:

$$x=rcos(\alpha z)\qquad y=rsen(\alpha z)$$

Calculamos sus derivadas respecto al tiempo:

$$\dot{x}=\dot{r}cos(\alpha z)-\alpha r \dot{z}sen(\alpha z)\qquad \dot{y}=\dot{r}sen(\alpha z)+\alpha r \dot{z}cos(\alpha z)$$

Reemplazamos en nuestro lagrangiano:

$$L=\frac{1}{2}m[(\dot{r}cos(\alpha z)-\alpha r \dot{z}sen(\alpha z))^2+(\dot{r}sen(\alpha z)+\alpha r \dot{z}cos(\alpha z))^2]$$

Desarrollando los cuadrados, eliminamos algunos términos semejantes y aplicamos la identidad trigonométrica fundamental ($sen^2(\alpha z)+cos^2(\alpha z)=1$) obteniendo:

$$L=\frac{1}{2}m(\dot{r}^2+\alpha^2 r^2 \dot{z}^2)-U(r)$$

Ahora calculamos las ecuaciones de Euler-Lagrange para cada una de las coordenadas generalizadas (aquellas por donde se efectúa el movimiento) $r$ y $z$:

$r$:

$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{r}}\right)-\frac{\partial L}{\partial r}=0$$

$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial }{\partial \dot{r}}\left(\frac{1}{2}m(\dot{r}^2+\alpha^2 r^2 \dot{z}^2)-U(r)\right)\right)-\frac{\partial }{\partial r}\left(\frac{1}{2}m(\dot{r}^2+\alpha^2 r^2 \dot{z}^2)-U(r)\right)=0$$

$$\frac{d}{dt}(m\dot{r})-m\alpha^2r\dot{z}^2+\frac{\partial U(r)}{\partial r}=0$$

De acuerdo a la expresión anterior, $p_r$ no se conserva, pero nos da la ecuación diferencial radial:

$$\frac{d}{dt}(m\dot{r})=m\alpha^2r\dot{z}^2-\frac{\partial U(r)}{\partial r}$$

$z$:

$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{z}}\right)-\frac{\partial L}{\partial z}=0$$

$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial }{\partial \dot{z}}\left(\frac{1}{2}m(\dot{r}^2+\alpha^2 r^2 \dot{z}^2)-U(r)\right)\right)-\frac{\partial }{\partial z}\left(\frac{1}{2}m(\dot{r}^2+\alpha^2 r^2 \dot{z}^2)-U(r)\right)=0$$

$$\frac{d}{dt}(m\alpha^2r^2\dot{z})=0$$

Luego $p_z$ es una cantidad conservada.

Es momento de calcular las componentes del momento angular:

$$m\mathbf{r}\times\mathbf{v}=m(y\dot{z}-\dot{y}z)i+m(z\dot{x}-\dot{z}x)j+m(x\dot{y}-\dot{x}y)k$$

Cómo ya no tenemos un valor claro para la transformación de la coordenada $z$, la única componente que podemos hallar es $M_z$:

$$M_z=m(x\dot{y}-\dot{x}y)$$

Reemplazamos de acuerdo a nuestras expresiones encontradas arriba:

$$M_z=m(rcos(\alpha z)[\dot{r}sen(\alpha z)+\alpha r \dot{z}cos(\alpha z)]-[\dot{r}cos(\alpha z)-\alpha r \dot{z}sen(\alpha z)]rsen(\alpha z))$$

Eliminando algunos términos semejantes y aplicando nuevamente la identidad trigonométrica fundamental encontramos:

$$M_z=m\alpha r^2 \dot{z}$$

Luego está componente también se conserva y corresponde al valor del momento lineal $p_z$, salvo una constante multiplicativa adicional $\alpha$ entonces colocamos $p_z$ en términos de $M_z$:

$$m\alpha^2r^2\dot{z}=p_z$$

$$m\alpha r^2\dot{z}=\frac{p_z}{\alpha}$$

Recordamos que $\alpha=\frac{\omega}{h}$ y los valores de $\omega$ están entre los valores $0<\omega\leq 2\pi$

Así tendremos el siguiente resultado:

$$M_z=m\alpha r^2\dot{z}=\frac{p_z}{\alpha}=\frac{hp_z}{\omega}=\frac{hp_z}{2\pi}$$

$$M_z=\frac{hp_z}{2\pi}$$

Luego la suma de ambas cantidades conservadas también es una cantidad conservada:

$$M_z+\frac{hp_z}{2\pi}=cte$$

Llegamos así a la respuesta del libro.

Ahora si finalizamos el tercer punto un poco largo; pero donde vimos y aprendimos muchos temas interesantes.