Solucionario Mecánica de Landau

 Está es la parte final del tercer punto, que finalizamos con el ítem c): Péndulo plano cuyo punto de suspensión: 3.c) Oscila verticalmente según la ley $y=acos(\gamma t)$: Cómo las coordenadas generalizadas son aquellas por donde se efectúa el movimiento, el péndulo se mueve verticalmente de acuerdo a la ley $y=acos(\gamma t)$ y mediante la coordenada $\phi$, que se pueden descomponer en coordenadas rectangulares mediante un triángulo: Como es una única masa, sumamos las coordenadas $y=y_1+y_2$ e $x=x_1$, con nuestro punto de referencia ubicado de acuerdo al esquema anterior, así: $$x=lsen\phi \qquad y=acos(\gamma t)-lcos\phi$$ Y sus respectivas derivadas respecto al tiempo: $$\dot{x}=\dot{\phi}lcos\phi \qquad \dot{y}=-a\gamma sen(\gamma t)+\dot{\phi}lsen\phi$$ Reemplazamos en nuestra energía cinética: $$T=\frac{1}{2}m[\dot{x}^2+\dot{y}^2]$$ $$T=\frac{1}{2}m[\dot{\phi}^2l^2cos^2\phi+(-a\gamma sen(\gamma t)+\dot{\phi}lsen\phi)^2]$$ Haciendo un poco de álgebra y utilizando la identi...

Debido a que el tercer punto tiene 3 ítems a), b) y c), he decidido dedicar a cada ejercicio su propio espacio, ya que son similares, pero no dependen entre sí. Péndulo plano cuyo punto de suspensión: 3.b) Oscila horizontalmente en el plano del péndulo según la ley $x=acos(\gamma t)$: Cómo las coordenadas generalizadas son aquellas por donde se efectúa el movimiento, el péndulo se mueve oscilando horizontalmente de acuerdo a $x=acos(\gamma t)$ y a través del ángulo $\phi$, luego es posible representarlas en términos de coordenadas rectangulares mediante triángulos: Cómo es una sola masa, sumamos las coordenadas $x$ en este caso, para formar $x=x_1+x_2$ e $y=y_1$, que de acuerdo  a nuestro punto de referencia ubicado sobre la horizontal (parte superior positivo, parte inferior negativo) tenemos: $$x=acos(\gamma t)+lsen\phi \qquad y=-lcos\phi$$ Y sus respectivas derivadas respecto al tiempo: $$\dot{x}=-a\gamma sen(\gamma t)+\dot{\phi}lcos\phi \qquad \dot{y}=\dot{\phi}lsen\phi$$ Reemp...

Después de un buen tiempo sin publicar en el blog, he vuelto y continuamos con el item a)  Péndulo plano, cuyo punto de suspensión: 3.a) se desplaza uniformemente sobre una circunferencia vertical con una frecuencia constante $\gamma$: Recordando que nuestras coordenadas generalizadas son aquellas por donde se efectúa el movimiento, para nuestro caso las coordenada $\phi$, pero como tenemos un movimiento circular, este va a tener dependencia explicita por el tiempo, multiplicada por su frecuencia $\gamma$, para efectos de facilidad al momento de obtener el lagrangiano, representamos $l$ (la longitud del péndulo), $\phi$, $a$ (el radio de la circunferencia), y $\gamma t$, el ángulo que recorre el péndulo en la circunferencia, respecto a las coordenadas rectangulares $x$ e $y$ en dos triángulos: Cómo es una masa, entonces tendremos la suma de coordenadas $x=x_1+x_2$ e $y=y_1+y_2$, que en términos de coordenadas rectangulares es: \[x=acos(\gamma t)+lsen\phi \qquad y=asen(\gamma t)-lco...