Campo cilíndrico homogéneo indefinido Capítulo 2

Los siguientes problemas van a estar dedicados uno a uno en diferente página para evitar demasiado texto y corresponde a los presentes después de la sección $\S 9$:

3. Indicar las componentes del ímpetu $\mathbf{p}$ y del momento cinético $\mathbf{M}$ que se conservan en un movimiento dentro de los siguientes campos:

b) Campo cilíndrico homogéneo indefinido.

Su lagrangiano expresado en coordenadas rectangulares es:

$$L=\frac{1}{2}m(\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2)-U(\mathbf{r_1},\mathbf{r_2},...)$$

Debido a que el campo es cilíndrico, luego existe aceleración respecto a $r$ y $\phi$, por lo tanto existe energía potencial respecto a dichas coordenadas $U(r,\phi)$; además tenemos la transformación de coordenadas rectangulares a cilíndricas con sus respectivas derivadas respecto al tiempo:

$$x=rcos\phi \qquad y=rsen\phi \qquad z=z$$

$$\dot{x}=\dot{r}cos\phi-r\dot{\phi}sen\phi \qquad \dot{y}=\dot{r}sen\phi+r\dot{\phi}cos\phi\qquad \dot{z}=\dot{z}$$

Reemplazando en nuestro lagrangiano:

$$L=\frac{1}{2}m[(\dot{r}cos\phi-r\dot{\phi}sen\phi)^2+(\dot{r}sen\phi+r\dot{\phi}cos\phi)^2+\dot{z}^2]-U(r,\phi)$$

Luego eliminando algunos términos y utilizando la identidad trigonométrica fundamental, encontramos el lagrangiano para la partícula $m$ en coordenadas polares:

$$L=\frac{1}{2}m(\dot{r}^2+r^2\dot{\phi}^2+\dot{z}^2)-U(r,\phi)$$

Ahora calculamos las ecuaciones de Euler-Lagrange sobre las coordenadas generalizadas (aquellas por donde se efectúa el movimiento de la partícula) $r$, $\phi$, $z$:

$r$:

$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{r}} \right )-\frac{\partial L}{\partial r}=0$$

$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial }{\partial  \dot{r}}\left(\frac{1}{2}m(\dot{r}^2+r^2\dot{\phi}^2+\dot{z}^2)-U(r,\phi) \right ) \right )-\frac{\partial }{\partial r}\left(\frac{1}{2}m(\dot{r}^2+r^2\dot{\phi}^2+\dot{z}^2)-U(r,\phi) \right )=0$$

$$\frac{d}{dt}(m\dot{r})-mr\dot{\phi}^2+\frac{\partial U(r,\phi)}{\partial r}=0$$

Cómo $p_r=m\dot{r}$ (por definición) se conserve su derivada, debe estar igualada a cero, pero en nuestro caso tenemos:

$$\frac{d}{dt}(m\dot{r})=mr\dot{\phi}^2-\frac{\partial U(r,\phi)}{\partial r}$$

por lo tanto $p_r$ no se conserva, de hecho está ecuación nos proporciona la ecuación diferencial del movimiento de la partícula por la coordenada radial.

$\phi$:

$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{\phi}} \right )-\frac{\partial L}{\partial \phi}=0$$

$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial }{\partial  \dot{\phi}}\left(\frac{1}{2}m(\dot{r}^2+r^2\dot{\phi}^2+\dot{z}^2)-U(r,\phi) \right ) \right )-\frac{\partial }{\partial \phi}\left(\frac{1}{2}m(\dot{r}^2+r^2\dot{\phi}^2+\dot{z}^2)-U(r,\phi) \right )=0$$

$$\frac{d}{dt}(mr^2\dot{\phi})+\frac{\partial U(r,\phi)}{\partial \phi}=0$$

Para que $p_\theta=mr^2\dot{\phi}$ se conserve, su derivada respecto al tiempo debe estar igualada a cero, pero en nuestro caso tenemos:

$$\frac{d}{dt}(mr^2\dot{\phi})=-\frac{\partial U(r,\phi)}{\partial \phi}$$

Luego $p_\theta$ no se conserva, pero nos representa la ecuación diferencial del movimiento de la partícula por la coordenada $\phi$.

$z$:

$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{z}} \right )-\frac{\partial L}{\partial z}=0$$

$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial }{\partial  \dot{z}}\left(\frac{1}{2}m(\dot{r}^2+r^2\dot{\phi}^2+\dot{z}^2)-U(r,\phi) \right ) \right )-\frac{\partial }{\partial z}\left(\frac{1}{2}m(\dot{r}^2+r^2\dot{\phi}^2+\dot{z}^2)-U(r,\phi) \right )=0$$

$$\frac{d}{dt}(m\dot{z})=0$$

Así en este caso $p_z=m\dot{z}$ es una magnitud conservada, porque su derivada respecto al tiempo está igualada a cero.

Por fortuna las componentes del momento angular ya fueron calculadas en un ejercicio anterior:

$$M_{x\rightarrow (rcos\phi)}=m(r\dot{z}-\dot{r}z)sen\phi - mzr\dot{\phi}cos\phi$$

$$M_{y\rightarrow (rsen\phi)}=m(z\dot{r}-\dot{z}r)cos\phi-mzr\dot{\phi}sen\phi$$

$$M_{z\rightarrow z}=mr^2\dot{\phi}$$

Pero debido a la dependencia de las componentes $M_x$ y $M_y$ con $r$ y $\phi$ de acuerdo a las transformaciones de coordenadas de rectangulares a cilíndricas, luego estás componentes no se conservan, y la única que se conserva es $M_z$ por la ausencia de la coordenada $z$ dentro de la componente del momento angular; en sentido físico esto quiere decir que el movimiento de la partícula va a permanecer inalterado sin importar las rotaciones que se lleven a cabo por el eje $z$.

Por lo tanto encontramos las componentes que se conservan del ímpetu y del momento angular $p_z$ y $M_z$.