Campo debido a dos puntos Capítulo 2

 Los siguientes problemas van a estar dedicados uno a uno en diferente página para evitar demasiado texto y corresponde a los presentes después de la sección $\S 9$:

3. Indicar las componentes del ímpetu $\mathbf{p}$ y del momento cinético $\mathbf{M}$ que se conservan en un movimiento dentro de los siguientes campos:

d) Campo debido a dos puntos.

La forma mas fácil de representar un campo debido a dos puntos es mediante coordenadas esféricas, teniendo en cuenta que pueden variar los ángulos y el radio (esto debido a que no se especifica que clase de campo puede existir entre los dos puntos), resulta bastante práctico para este caso:

Su lagrangiano expresado en coordenadas rectangulares es:

\[L=\frac{1}{2}m(\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2)-U(\mathbf{r_1},\mathbf{r_2},...)\]

Utilizando la transformación de coordenadas rectangulares a coordenadas esféricas:

\[x=rsen\theta cos\phi \qquad y=rsen\theta sen\phi \qquad z=rcos\theta\]

Y sus derivadas respecto al tiempo:

\[\dot{x}=\dot{r}sen\theta cos\phi+r\dot{\theta}cos\theta cos\phi-r\dot{\phi}sen\theta sen\phi\qquad \dot{y}=\dot{r}sen\theta sen\phi+r\dot{\theta}cos\theta sen\phi+r\dot{\phi}sen\theta cos\phi\]

\[\dot{z}=\dot{r}cos\theta-r\dot{\theta}sen\theta\]

Reemplazamos en el lagrangiano:

\[\scriptsize{L=\frac{1}{2}m[(\dot{r}sen\theta cos\phi+r\dot{\theta}cos\theta cos\phi-r\dot{\phi}sen\theta sen\phi)^2+(\dot{r}sen\theta sen\phi+r\dot{\theta}cos\theta sen\phi+r\dot{\phi}sen\theta cos\phi)^2+(\dot{r}cos\theta-r\dot{\theta}sen\theta)^2]-U(r,\theta,\phi)}\]

Después de realizar una extensa y no complicada algebra, aplicando la identidad trigonométrica fundamental ($sen^\alpha+cos^\alpha=1$) y eliminando algunos términos iguales obtenemos el siguiente lagrangiano:

\[L=\frac{1}{2}m(\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2+r^2\dot{\phi}^2sen^2\theta)-U(r,\theta,\phi)\]

Ahora calculamos las ecuaciones de Euler-Lagrange para las coordenadas generalizadas (aquellas por donde se efectúa el movimiento) $r$, $\theta$, $\phi$:

$r$:

\[\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{r}} \right )-\frac{\partial L}{\partial r}=0\]

\[\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial }{\partial  \dot{r}}\left(\frac{1}{2}m(\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2+r^2\dot{\phi}^2sen^2\theta)-U(r,\theta,\phi)\right ) \right )-\frac{\partial }{\partial r}\left(\frac{1}{2}m(\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2+r^2\dot{\phi}^2sen^2\theta)-U(r,\theta,\phi) \right )=0\]

\[\frac{d}{dt}(m\dot{r})-mr(\dot{\theta}^2+\dot{\phi}^2sen^2\theta)+\frac{\partial U(r,\theta,\phi)}{\partial r}=0\]

En este caso $p_r$ no se conserva, pero nos da la ecuación diferencial asociada a la componente radial:

\[\frac{d}{dt}(m\dot{r})=mr(\dot{\theta}^2+\dot{\phi}^2sen^2\theta)-\frac{\partial U(r,\theta,\phi)}{\partial r}\]

$\theta$:

\[\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{r}} \right )-\frac{\partial L}{\partial r}=0\]

\[\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial }{\partial  \dot{r}}\left(\frac{1}{2}m(\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2+r^2\dot{\phi}^2sen^2\theta)-U(r,\theta,\phi)\right ) \right )-\frac{\partial }{\partial r}\left(\frac{1}{2}m(\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2+r^2\dot{\phi}^2sen^2\theta)-U(r,\theta,\phi) \right )=0\]

\[\frac{d}{dt}(m\dot{\theta})-mr^2\phi^2sen\theta cos\theta+\frac{\partial U(r,\theta,\phi)}{\partial \theta}=0\]

Ahora esta vez obtenemos la ecuación diferencial asociada a la componente angular $\theta$ (luego tampoco se conserva $p_\theta$):

\[\frac{d}{dt}(m\dot{\theta})=mr^2\phi^2sen\theta cos\theta-\frac{\partial U(r,\theta,\phi)}{\partial \theta}\]

$\phi$:

\[\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{r}} \right )-\frac{\partial L}{\partial r}=0\]

\[\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial }{\partial  \dot{r}}\left(\frac{1}{2}m(\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2+r^2\dot{\phi}^2sen^2\theta)-U(r,\theta,\phi)\right ) \right )-\frac{\partial }{\partial r}\left(\frac{1}{2}m(\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2+r^2\dot{\phi}^2sen^2\theta)-U(r,\theta,\phi) \right )=0\]

\[\frac{d}{dt}(mr^2\dot{\phi}sen^2\theta)+\frac{\partial U(r,\theta,\phi)}{\partial \theta}=0\]

Finalmente para la coordenada azimutal $\phi$ encontramos su ecuación diferencial (y cómo intuíamos $p_\phi$ tampoco se conserva):

\[\frac{d}{dt}(mr^2\dot{\phi}sen^2\theta)=-\frac{\partial U(r,\theta,\phi)}{\partial \theta}\]

Por fortuna las componentes del momento angular ya fueron calculadas en un ejercicio anterior:

\[M_{x\rightarrow (rsen\theta cos\phi)}=-mr^2(\dot{\theta}sen\phi+\dot{\phi}cos\theta sen\theta cos\phi)\]

\[M_{y\rightarrow (rsen\theta sen\phi)}=mr^2(\dot{\theta}cos\phi-\dot{\phi}sen\theta cos\theta sen\phi)\]

\[M_{z\rightarrow (rcos\theta)}=mr^2\dot{\phi}sen^2\theta\]

Es así como encontramos que para un campo generado por dos masas la unica componente que se conserva es $M_z$, además de utilizar el sistema coordenado más apropiado que nos permita conseguir todas las trayectorias posibles que puede tener las partículas en el espacio sin importar el potencial asociado que tengan.

Los leo abajo en los comentarios si me dicen porque desde las componentes del momento angular no se conserva $M_x$ y $M_y$ (recuerden que para introducir ecuaciones pueden escribirlas en lenguaje latex entre $\setminus[$ y $\setminus]$)