Campo debido a dos puntos Capítulo 2

 Los siguientes problemas van a estar dedicados uno a uno en diferente página para evitar demasiado texto y corresponde a los presentes después de la sección §9:

3. Indicar las componentes del ímpetu p y del momento cinético M que se conservan en un movimiento dentro de los siguientes campos:

d) Campo debido a dos puntos.

La forma mas fácil de representar un campo debido a dos puntos es mediante coordenadas esféricas, teniendo en cuenta que pueden variar los ángulos y el radio (esto debido a que no se especifica que clase de campo puede existir entre los dos puntos), resulta bastante práctico para este caso:

Su lagrangiano expresado en coordenadas rectangulares es:
L=12m(˙x2+˙y2+˙z2)U(r1,r2,...)
Utilizando la transformación de coordenadas rectangulares a coordenadas esféricas:
x=rsenθcosϕy=rsenθsenϕz=rcosθ
Y sus derivadas respecto al tiempo:
˙x=˙rsenθcosϕ+r˙θcosθcosϕr˙ϕsenθsenϕ˙y=˙rsenθsenϕ+r˙θcosθsenϕ+r˙ϕsenθcosϕ
˙z=˙rcosθr˙θsenθ
Reemplazamos en el lagrangiano:
L=12m[(˙rsenθcosϕ+r˙θcosθcosϕr˙ϕsenθsenϕ)2+(˙rsenθsenϕ+r˙θcosθsenϕ+r˙ϕsenθcosϕ)2+(˙rcosθr˙θsenθ)2]U(r,θ,ϕ)
Después de realizar una extensa y no complicada algebra, aplicando la identidad trigonométrica fundamental (senα+cosα=1) y eliminando algunos términos iguales obtenemos el siguiente lagrangiano:
L=12m(˙r2+r2˙θ2+r2˙ϕ2sen2θ)U(r,θ,ϕ)
Ahora calculamos las ecuaciones de Euler-Lagrange para las coordenadas generalizadas (aquellas por donde se efectúa el movimiento) r, θ, ϕ:
r:
ddt(L˙r)Lr=0
ddt(˙r(12m(˙r2+r2˙θ2+r2˙ϕ2sen2θ)U(r,θ,ϕ)))r(12m(˙r2+r2˙θ2+r2˙ϕ2sen2θ)U(r,θ,ϕ))=0
ddt(m˙r)mr(˙θ2+˙ϕ2sen2θ)+U(r,θ,ϕ)r=0
En este caso pr no se conserva, pero nos da la ecuación diferencial asociada a la componente radial:
ddt(m˙r)=mr(˙θ2+˙ϕ2sen2θ)U(r,θ,ϕ)r
θ:
ddt(L˙r)Lr=0
ddt(˙r(12m(˙r2+r2˙θ2+r2˙ϕ2sen2θ)U(r,θ,ϕ)))r(12m(˙r2+r2˙θ2+r2˙ϕ2sen2θ)U(r,θ,ϕ))=0
ddt(m˙θ)mr2ϕ2senθcosθ+U(r,θ,ϕ)θ=0
Ahora esta vez obtenemos la ecuación diferencial asociada a la componente angular θ (luego tampoco se conserva pθ):
ddt(m˙θ)=mr2ϕ2senθcosθU(r,θ,ϕ)θ
ϕ:
ddt(L˙r)Lr=0
ddt(˙r(12m(˙r2+r2˙θ2+r2˙ϕ2sen2θ)U(r,θ,ϕ)))r(12m(˙r2+r2˙θ2+r2˙ϕ2sen2θ)U(r,θ,ϕ))=0
ddt(mr2˙ϕsen2θ)+U(r,θ,ϕ)θ=0
Finalmente para la coordenada azimutal ϕ encontramos su ecuación diferencial (y cómo intuíamos pϕ tampoco se conserva):
ddt(mr2˙ϕsen2θ)=U(r,θ,ϕ)θ
Por fortuna las componentes del momento angular ya fueron calculadas en un ejercicio anterior:
Mx(rsenθcosϕ)=mr2(˙θsenϕ+˙ϕcosθsenθcosϕ)
My(rsenθsenϕ)=mr2(˙θcosϕ˙ϕsenθcosθsenϕ)
Mz(rcosθ)=mr2˙ϕsen2θ
Es así como encontramos que para un campo generado por dos masas la unica componente que se conserva es Mz, además de utilizar el sistema coordenado más apropiado que nos permita conseguir todas las trayectorias posibles que puede tener las partículas en el espacio sin importar el potencial asociado que tengan.
Los leo abajo en los comentarios si me dicen porque desde las componentes del momento angular no se conserva Mx y My (recuerden que para introducir ecuaciones pueden escribirlas en lenguaje latex entre [ y ])

Comentarios

Entradas populares de este blog

Lagrangiano péndulo plano con punto de suspensión a) Capítulo 1

Lagrangiano péndulo plano con punto de suspensión b) Capítulo 1

Lagrangiano péndulo plano con punto de suspensión móvil Capítulo 1