Solucionario Mecánica de Landau

  Problema seguido de la sección  $\S 10$: 2. Hallar el cociente de los tiempos en la misma trayectoria para partículas que tienen la misma masa, pero su energía potencial difiere de un valor constante. Nuevamente volvemos a hacer el cociente como hicimos en el primer problema seguido de la sección $\S 10$: $$\frac{T}{T'}=\frac{U}{U'}$$ Utilizando $v=\frac{l}{t}$: $$\frac{\frac{1}{2}m\frac{l^2}{t^2}}{\frac{1}{2}m\frac{l^2}{t'^2}}=\frac{U}{U'}$$ Eliminando términos semejantes llegamos a la respuesta (¿Porqué?): $$\frac{t'^2}{t^2}=\frac{U}{U'}$$ $$\frac{t'}{t}=\sqrt{\frac{U}{U'}}$$ Con $U'=U+\alpha$ Que corresponde a la respuesta del libro. Así terminamos los problemas del capítulo 2.

 Problema seguido de la sección  $\S 10$: 1. Hallar el cociente de los tiempos en la misma trayectoria para partículas de diferentes masas pero igual energía potencial. Aunque este problema parezca difícil, te voy a mostrar que es bastante sencillo, utilizando el teorema de conservación de la energía, diferenciando cada energía con un apostrofe: $$E=E'$$ Se cumple que $T=U$, por lo tanto hallamos el cociente $\frac{T}{T'}=\frac{U}{U'}$ $$\frac{\frac{1}{2}mv^2}{\frac{1}{2}m'v'^2}=\frac{U}{U}$$ Eliminando términos semejantes e igualando obtenemos: $$mv^2=m'v'^2$$ Considerando velocidades generalizadas, encontramos la siguiente relación válida $v=\frac{l}{t}$ y reemplazamos: $$m\frac{l^2}{t^2}=m'\frac{l^2}{t'^2}$$ Luego cómo es la misma trayectoria, pero diferente tiempo podemos obtener el cociente de los tiempos con las masas: $$\frac{m}{t^2}=\frac{m'}{t'^2}$$ $$\frac{t'}{t}^2=\frac{m'}{m}$$ $$\frac{t'}{t}=\sqrt{\frac{m'}{m}}$$ ...

 Los siguientes problemas van a estar dedicados uno a uno en diferente página para evitar demasiado texto y corresponde a los presentes después de la sección $\S 9$: 3. Indicar las componentes del ímpetu $\mathbf{p}$ y del momento cinético $\mathbf{M}$ que se conservan en un movimiento dentro de los siguientes campos: g) Campo de un toro circular homogéneo. Su lagrangiano expresado en coordenadas rectangulares es: $$L=\frac{1}{2}m(\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2)-U(\mathbf{r_1},\mathbf{r_2},...)$$ La transformación de coordenadas rectangulares a las coordenadas de la hélice es: $$x=rcos(\omega t) \qquad y=\epsilon rsen(\omega t) \qquad z=ht$$ Dónde $\omega$ es el ángulo girado por unidad de tiempo, $t$ es el tiempo y $h$ es el avance en el sentido $z$ por unidad de tiempo, $\epsilon=\pm 1$ según el sentido sea levógiro $+1$ (movimiento en contra de las manecillas del reloj) o dextrogiro $-1$ (movimiento a favor de las manecillas del reloj) Ahora de la transformación de $z$ despejamos...

Los siguientes problemas van a estar dedicados uno a uno en diferente página para evitar demasiado texto y corresponde a los presentes después de la sección $\S 9$: 3. Indicar las componentes del ímpetu $\mathbf{p}$ y del momento cinético $\mathbf{M}$ que se conservan en un movimiento dentro de los siguientes campos: g) Campo de un toro circular homogéneo. Su lagrangiano expresado en coordenadas rectangulares es: $$L=\frac{1}{2}m(\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2)-U(\mathbf{r_1},\mathbf{r_2},...)$$ La transformación de las coordenadas rectangulares a las coordenadas del toro es: $$x=cos\phi(R+rcos\theta) \qquad y=sen\phi(R+rcos\theta) \qquad z=rsen\theta$$ Donde $R$ es el centro del toro, $r$ es el radio del conducto, supongamos que $r$ puede variar en el tiempo, y que $r<R$ con $R$ constante, además $\theta,\phi$ recorren el intervalo $[0,2\pi)$; sus derivadas respecto al tiempo son: \[\dot{x}=-R\dot{\phi}sen\phi+\dot{r}cos\phi cos\theta-r\dot{\phi}sen\phi cos\theta-r\dot{\theta}cos\ph...

 Los siguientes problemas van a estar dedicados uno a uno en diferente página para evitar demasiado texto y corresponde a los presentes después de la sección $\S 9$: 3. Indicar las componentes del ímpetu $\mathbf{p}$ y del momento cinético $\mathbf{M}$ que se conservan en un movimiento dentro de los siguientes campos: f) Campo de un cono homogéneo. Su lagrangiano expresado en coordenadas rectangulares es: $$L=\frac{1}{2}m(\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2)-U(\mathbf{r_1},\mathbf{r_2},...)$$ La transformación de coordenadas rectangulares a las coordenadas de un cono es similar a las coordenadas esféricas, pero con la diferencia que el ángulo $\theta$ va a permanecer constante: $$x=rsen\theta cos\phi \qquad y=rsen\theta sen\phi \qquad z=rcos\theta$$ Y sus derivadas respecto al tiempo: $$\dot{x}=\dot{r}sen\theta cos\phi-r\dot{\phi}sen\theta sen\phi \qquad \dot{y}=\dot{r}sen\theta sen\phi+r\dot{\phi}sen\theta cos\phi \qquad \dot{z}=\dot{r}cos\theta$$ Reemplazando en nuestro lagrangiano: \[...

Los siguientes problemas van a estar dedicados uno a uno en diferente página para evitar demasiado texto y corresponde a los presentes después de la sección $\S 9$: 3. Indicar las componentes del ímpetu $\mathbf{p}$ y del momento cinético $\mathbf{M}$ que se conservan en un movimiento dentro de los siguientes campos: e) Campo de un semiplano homogéneo indefinido. Aunque está vez no puedo mostrarte un esquema para representar un semiplano homogéneo indefinido, pues está vez tienes que utilizar tu imaginación (igualmente si sabes cómo es el semiplano, me puedes dejar la imagen en los comentarios y con mucho gusto la reemplazare) la pista que nos deja Landau para imaginar el semiplano es la siguiente: "Siendo el semiplano indefinido la parte del plano $x$, y limitada por el eje $y$." Como es un semiplano tengo un posible lagrangiano para que sea $p_y$ la única componente que se conserve, dadas algunas consideraciones. Consideremos un lagrangiano para una partícula que sólo tiene...