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Quizá hablar de un solucionario de los libros de Landau, puede sonar a broma, o tal vez innecesario; porque las personas que alguna vez en nuestra vida hemos visto esos libros, pues nos hemos percatado que todos los problemas vienen con su respectiva solución. Entonces, ¿Para que hacer un solucionario, si los problemas ya muestran su solución? Aquellos que han intentado solucionar los ejercicios, y no han podido ni si quiera comenzar a hacer alguno de los problemas, porque no entienden ni si quiera como iniciar, o aún peor, no entienden a que se refiere el autor, les voy a mostrar las soluciones que he obtenido a lo largo de este tiempo que me he aventurado a entender y solucionar aquellos problemas, que exigen un nivel tanto de matemáticas y de física considerable, aunque no imposible de entender; para aquellos que hasta ahora iniciamos en el estudio de la física, o por alguna razón debemos ver esta materia o asignatura, o mejor aún nos apasiona la física, este formato de blog nos va ...
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Cociente de tiempos respecto al cociente de energías potenciales Capitulo 2

  Problema seguido de la sección  $\S 10$: 2. Hallar el cociente de los tiempos en la misma trayectoria para partículas que tienen la misma masa, pero su energía potencial difiere de un valor constante. Nuevamente volvemos a hacer el cociente como hicimos en el primer problema seguido de la sección $\S 10$: \[\frac{T}{T'}=\frac{U}{U'}\] Utilizando $v=\frac{l}{t}$: \[\frac{\frac{1}{2}m\frac{l^2}{t^2}}{\frac{1}{2}m\frac{l^2}{t'^2}}=\frac{U}{U'}\] Eliminando términos semejantes llegamos a la respuesta (¿Porqué?): \[\frac{t'^2}{t^2}=\frac{U}{U'}\] \[\frac{t'}{t}=\sqrt{\frac{U}{U'}}\] Con $U'=U+\alpha$ Que corresponde a la respuesta del libro. Así terminamos los problemas del capítulo 2.
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Cociente de tiempos respecto al cociente de masas Capitulo 2

 Problema seguido de la sección  $\S 10$: 1. Hallar el cociente de los tiempos en la misma trayectoria para partículas de diferentes masas pero igual energía potencial. Aunque este problema parezca difícil, te voy a mostrar que es bastante sencillo, utilizando el teorema de conservación de la energía, diferenciando cada energía con un apostrofe: \[E=E'\] Se cumple que $T=U$, por lo tanto hallamos el cociente $\frac{T}{T'}=\frac{U}{U'}$ \[\frac{\frac{1}{2}mv^2}{\frac{1}{2}m'v'^2}=\frac{U}{U}\] Eliminando términos semejantes e igualando obtenemos: \[mv^2=m'v'^2\] Considerando velocidades generalizadas, encontramos la siguiente relación válida $v=\frac{l}{t}$ y reemplazamos: \[m\frac{l^2}{t^2}=m'\frac{l^2}{t'^2}\] Luego cómo es la misma trayectoria, pero diferente tiempo podemos obtener el cociente de los tiempos con las masas: \[\frac{m}{t^2}=\frac{m'}{t'^2}\] \[\frac{t'}{t}^2=\frac{m'}{m}\] \[\frac{t'}{t}=\sqrt{\frac{m'}{m}}\] ...
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Campo de una hélice cilíndrica homogénea indefinida Capítulo 2

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 Los siguientes problemas van a estar dedicados uno a uno en diferente página para evitar demasiado texto y corresponde a los presentes después de la sección $\S 9$: 3. Indicar las componentes del ímpetu $\mathbf{p}$ y del momento cinético $\mathbf{M}$ que se conservan en un movimiento dentro de los siguientes campos: g) Campo de un toro circular homogéneo. Su lagrangiano expresado en coordenadas rectangulares es: \[L=\frac{1}{2}m(\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2)-U(\mathbf{r_1},\mathbf{r_2},...)\] La transformación de coordenadas rectangulares a las coordenadas de la hélice es: \[x=rcos(\omega t) \qquad y=\epsilon rsen(\omega t) \qquad z=ht\] Dónde $\omega$ es el ángulo girado por unidad de tiempo, $t$ es el tiempo y $h$ es el avance en el sentido $z$ por unidad de tiempo, $\epsilon=\pm 1$ según el sentido sea levógiro $+1$ (movimiento en contra de las manecillas del reloj) o dextrogiro $-1$ (movimiento a favor de las manecillas del reloj) Ahora de la transformación de $z$ despejamos...
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Campo de un toro circular homogéneo Capítulo 2

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Los siguientes problemas van a estar dedicados uno a uno en diferente página para evitar demasiado texto y corresponde a los presentes después de la sección $\S 9$: 3. Indicar las componentes del ímpetu $\mathbf{p}$ y del momento cinético $\mathbf{M}$ que se conservan en un movimiento dentro de los siguientes campos: g) Campo de un toro circular homogéneo. Su lagrangiano expresado en coordenadas rectangulares es: \[L=\frac{1}{2}m(\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2)-U(\mathbf{r_1},\mathbf{r_2},...)\] La transformación de las coordenadas rectangulares a las coordenadas del toro es: \[x=cos\phi(R+rcos\theta) \qquad y=sen\phi(R+rcos\theta) \qquad z=rsen\theta\] Donde $R$ es el centro del toro, $r$ es el radio del conducto, supongamos que $r$ puede variar en el tiempo, y que $r<R$ con $R$ constante, además $\theta,\phi$ recorren el intervalo $[0,2\pi)$; sus derivadas respecto al tiempo son: \[\dot{x}=-R\dot{\phi}sen\phi+\dot{r}cos\phi cos\theta-r\dot{\phi}sen\phi cos\theta-r\dot{\theta}cos\ph...
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Campo de un cono homogéneo Capítulo 2

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 Los siguientes problemas van a estar dedicados uno a uno en diferente página para evitar demasiado texto y corresponde a los presentes después de la sección $\S 9$: 3. Indicar las componentes del ímpetu $\mathbf{p}$ y del momento cinético $\mathbf{M}$ que se conservan en un movimiento dentro de los siguientes campos: f) Campo de un cono homogéneo. Su lagrangiano expresado en coordenadas rectangulares es: \[L=\frac{1}{2}m(\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2)-U(\mathbf{r_1},\mathbf{r_2},...)\] La transformación de coordenadas rectangulares a las coordenadas de un cono es similar a las coordenadas esféricas, pero con la diferencia que el ángulo $\theta$ va a permanecer constante: \[x=rsen\theta cos\phi \qquad y=rsen\theta sen\phi \qquad z=rcos\theta\] Y sus derivadas respecto al tiempo: \[\dot{x}=\dot{r}sen\theta cos\phi-r\dot{\phi}sen\theta sen\phi \qquad \dot{y}=\dot{r}sen\theta sen\phi+r\dot{\phi}sen\theta cos\phi \qquad \dot{z}=\dot{r}cos\theta\] Reemplazando en nuestro lagrangiano: \[...
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Campo de un semiplano homogéneo indefinido Capítulo 2

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Los siguientes problemas van a estar dedicados uno a uno en diferente página para evitar demasiado texto y corresponde a los presentes después de la sección $\S 9$: 3. Indicar las componentes del ímpetu $\mathbf{p}$ y del momento cinético $\mathbf{M}$ que se conservan en un movimiento dentro de los siguientes campos: e) Campo de un semiplano homogéneo indefinido. Aunque está vez no puedo mostrarte un esquema para representar un semiplano homogéneo indefinido, pues está vez tienes que utilizar tu imaginación (igualmente si sabes cómo es el semiplano, me puedes dejar la imagen en los comentarios y con mucho gusto la reemplazare) la pista que nos deja Landau para imaginar el semiplano es la siguiente: "Siendo el semiplano indefinido la parte del plano $x$, y limitada por el eje $y$." Como es un semiplano tengo un posible lagrangiano para que sea $p_y$ la única componente que se conserve, dadas algunas consideraciones. Consideremos un lagrangiano para una partícula que sólo tiene...
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Campo debido a dos puntos Capítulo 2

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 Los siguientes problemas van a estar dedicados uno a uno en diferente página para evitar demasiado texto y corresponde a los presentes después de la sección $\S 9$: 3. Indicar las componentes del ímpetu $\mathbf{p}$ y del momento cinético $\mathbf{M}$ que se conservan en un movimiento dentro de los siguientes campos: d) Campo debido a dos puntos. La forma mas fácil de representar un campo debido a dos puntos es mediante coordenadas esféricas, teniendo en cuenta que pueden variar los ángulos y el radio (esto debido a que no se especifica que clase de campo puede existir entre los dos puntos), resulta bastante práctico para este caso: Su lagrangiano expresado en coordenadas rectangulares es: \[L=\frac{1}{2}m(\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2)-U(\mathbf{r_1},\mathbf{r_2},...)\] Utilizando la transformación de coordenadas rectangulares a coordenadas esféricas: \[x=rsen\theta cos\phi \qquad y=rsen\theta sen\phi \qquad z=rcos\theta\] Y sus derivadas respecto al tiempo: \[\dot{x}=\dot{r}sen\...
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