Solucionario Mecánica de Landau

 Los siguientes problemas van a estar dedicados uno a uno en diferente página para evitar demasiado texto y corresponde a los presentes después de la sección $\S 9$: 3. Indicar las componentes del ímpetu $\mathbf{p}$ y del momento cinético $\mathbf{M}$ que se conservan en un movimiento dentro de los siguientes campos: c) Campo prismático homogéneo indefinido. Consideremos un campo prismático triangular: Su lagrangiano expresado en coordenadas rectangulares es: \[L=\frac{1}{2}m(\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2)-U(\mathbf{r_1},\mathbf{r_2},...)\] Considerando un prisma triangular, el potencial va a depender del ángulo $\phi$, y en el eje $z$ va a permanecer constante $U(\phi)$ además podemos obtener la transformación de coordenadas de coordenadas rectangulares a las coordenadas asociadas al prisma: \[x=hsen\phi \qquad y=c cos\phi \qquad z=z\] De acuerdo a las relaciones trigonométricas tenemos respecto al seno del ángulo $phi$ que $sen\phi=\frac{h}{a}$, a partir de esta información es p...

Los siguientes problemas van a estar dedicados uno a uno en diferente página para evitar demasiado texto y corresponde a los presentes después de la sección $\S 9$: 3. Indicar las componentes del ímpetu $\mathbf{p}$ y del momento cinético $\mathbf{M}$ que se conservan en un movimiento dentro de los siguientes campos: b) Campo cilíndrico homogéneo indefinido. Su lagrangiano expresado en coordenadas rectangulares es: \[L=\frac{1}{2}m(\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2)-U(\mathbf{r_1},\mathbf{r_2},...)\] Debido a que el campo es cilíndrico, luego existe aceleración respecto a $r$ y $\phi$, por lo tanto existe energía potencial respecto a dichas coordenadas $U(r,\phi)$; además tenemos la transformación de coordenadas rectangulares a cilíndricas con sus respectivas derivadas respecto al tiempo: \[x=rcos\phi \qquad y=rsen\phi \qquad z=z\] \[\dot{x}=\dot{r}cos\phi-r\dot{\phi}sen\phi \qquad \dot{y}=\dot{r}sen\phi+r\dot{\phi}cos\phi\qquad \dot{z}=\dot{z}\] Reemplazando en nuestro lagrangiano: \[L=\f...

Los siguientes problemas van a estar dedicados uno a uno en diferente página para evitar demasiado texto y corresponde a los presentes después de la sección $\S 9$: 3. Indicar las componentes del ímpetu $\mathbf{p}$ y del momento cinético $\mathbf{M}$ que se conservan en un movimiento dentro de los siguientes campos: a)Campo plano homogéneo e indefinido Cómo es un campo plano, luego su lagrangiano corresponde a: \[L=\frac{1}{2}m(\dot{x}^2+\dot{y}^2)-U(\mathbf{r_1},\mathbf{r_2},...)\] Luego como no hay interacción de otro cuerpo en el campo plano homogéneo e indefinido es posible considerarla como constante, ahora aplicamos las ecuaciones de Euler-Lagrange para cada coordenada generalizada ($x$ e $y$): $x$: \[\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}} \right )-\frac{\partial L}{\partial x}=0\] \[\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial }{\partial  \dot{x}}\left(\frac{1}{2}m(\dot{x}^2+\dot{y}^2)-U \right ) \right )-\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{1}{2}m(\dot{x}^2+\dot{y}^2...

 El siguiente problema corresponde a los presentes después de la sección $\S 9$: 2. Hallar las expresiones de las componentes cartesianas y el valor del módulo del momento angular de una partícula cuyas coordenadas esféricas son $r$, $\theta$, $\phi$. Las coordenadas de transformación para una partícula de coordenadas esféricas en términos de coordenadas rectangulares es: \[x=rsen\theta cos\phi \qquad y=rsen\theta sen\phi \qquad z=rcos\theta\] Y sus derivadas respecto al tiempo: \[\dot{x}=\dot{r}sen\theta cos\phi+r\dot{\theta}cos\theta cos\phi-r\dot{\phi}sen\theta sen\phi\qquad \dot{y}=\dot{r}sen\theta sen\phi+r\dot{\theta}cos\theta sen\phi+r\dot{\phi}sen\theta cos\phi\] \[\dot{z}=\dot{r}cos\theta-r\dot{\theta}sen\theta\] Las componentes del momento angular las calculamos así: \[\mathbf{r}\times\mathbf{p}=m\mathbf{r}\times\mathbf{v}=\begin{vmatrix}i & j & k\\ x & y & z\\ \dot{x} & \dot{y} & \dot{z}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}y & z\\ \dot{y} & \dot{z...

  Comenzamos nuestras notas para poder entender un poco mejor el libro de Mecánica de Landau, en esta ocasión nos trasladamos a la demostración del momento angular en la sección $\S 9$ Enseguida escribiré de forma muy ligera la demostración que se lleva a cabo en color negro, de acuerdo al libro, con unas breves frases que resumen el proceso, y cuándo lleguemos a la permutación circular, les mostrare cómo es posible realizar dicho proceso con una pequeña demostración: La magnitud de $|\delta r|$ de acuerdo a la imagen es: \[|\delta\mathbf{r}|=rsen\theta \delta\phi\] Esto se puede expresar cómo un producto vectorial: \[\delta \mathbf{r}=\delta\boldsymbol{\phi}\times \mathbf{r}\] Y su derivada respecto al tiempo: \[\delta \mathbf{v}=\delta\boldsymbol{\phi}\times \mathbf{v}\] Llevando las anteriores expresiones a la condición que el lagrangiano no varía por la rotación: \[\delta L=\sum_a\left(\frac{\partial L}{\partial \mathbf{r}_a}\cdot \delta \mathbf{r}_a + \frac{\partial L}{\p...

El siguiente problema corresponde a los presentes después de la sección $\S 9$: 1. Hallar las expresiones de las componentes cartesianas y el valor del módulo del momento angular de una partícula cuyas coordenadas cilíndricas son $r$, $\phi$, $z$. Las coordenadas de transformación para una partícula de coordenadas cilíndricas en términos de coordenadas rectangulares es: \[x=rcos\phi \qquad y=rsen\phi \qquad z=z\] Y sus derivadas respecto al tiempo son: \[\dot{x}=\dot{r}cos\phi-r\dot{\phi}sen\phi \qquad \dot{y}=\dot{r}sen\phi+r\dot{\phi}cos\phi \qquad \dot{z}=\dot{z}\] Las componentes del momento angular se pueden calcular cómo: \[\mathbf{r}\times\mathbf{p}=m\mathbf{r}\times\mathbf{v}=\begin{vmatrix}i & j & k\\ x & y & z\\ \dot{x} & \dot{y} & \dot{z}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}y & z\\ \dot{y} & \dot{z}\end{vmatrix}i+\begin{vmatrix}z & x\\ \dot{z} & \dot{x}\end{vmatrix}j+\begin{vmatrix}x & y\\ \dot{x} & \dot{y}\end{vmatrix}k\] \[m\mathbf{r...

 Problema seguido de la sección  $\S 8$: Encontrar la ley de transformación de la acción $S$ cuando se pasa de un sistema inercial a otro. En este caso el problema no necesita un esquema como representación, sólo necesita manipulación de la acción como sigue: La acción la definimos cómo: \[S=\int_{t_1}^{t_2}Ldt\] Primero encontramos la ley de transformación para el lagrangiano (de cualquier cantidad de partículas): \[L=T-U\] \[L=\frac{1}{2}\sum_a m_av_a^2-U\] De acuerdo a la relatividad de Galileo $v_a=v'_a+v$, así: \[L=\frac{1}{2}\sum_a m_a(v'_a+v)^2-U\] Desarrollando el cuadrado tenemos: \[L=\frac{1}{2}\sum_a m_av_{a}^{'2}+v\cdot \sum_a m_av_{a}^{'}+\frac{1}{2}\sum_a m_av^2-U\] \[L=\frac{1}{2}\sum_a m_av_{a}^{'2}-U+v\cdot \sum_a m_av_{a}^{'}+\frac{1}{2}\sum_a m_av^2\] Y esto lo podemos representar cómo: \[L=L'+v\cdot P'+\frac{1}{2}\mu v^2\] Integramos está expresión respecto al tiempo y obtenemos la ley de transformación para la acción: \[\int_{t_1}^{t...