Solucionario Mecánica de Landau

 Los siguientes problemas van a estar dedicados uno a uno en diferente página para evitar demasiado texto y corresponde a los presentes después de la sección $\S 9$: 3. Indicar las componentes del ímpetu $\mathbf{p}$ y del momento cinético $\mathbf{M}$ que se conservan en un movimiento dentro de los siguientes campos: d) Campo debido a dos puntos. La forma mas fácil de representar un campo debido a dos puntos es mediante coordenadas esféricas, teniendo en cuenta que pueden variar los ángulos y el radio (esto debido a que no se especifica que clase de campo puede existir entre los dos puntos), resulta bastante práctico para este caso: Su lagrangiano expresado en coordenadas rectangulares es: $$L=\frac{1}{2}m(\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2)-U(\mathbf{r_1},\mathbf{r_2},...)$$ Utilizando la transformación de coordenadas rectangulares a coordenadas esféricas: $$x=rsen\theta cos\phi \qquad y=rsen\theta sen\phi \qquad z=rcos\theta$$ Y sus derivadas respecto al tiempo: \[\dot{x}=\dot{r}sen\...

 Los siguientes problemas van a estar dedicados uno a uno en diferente página para evitar demasiado texto y corresponde a los presentes después de la sección $\S 9$: 3. Indicar las componentes del ímpetu $\mathbf{p}$ y del momento cinético $\mathbf{M}$ que se conservan en un movimiento dentro de los siguientes campos: c) Campo prismático homogéneo indefinido. Consideremos un campo prismático triangular: Su lagrangiano expresado en coordenadas rectangulares es: $$L=\frac{1}{2}m(\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2)-U(\mathbf{r_1},\mathbf{r_2},...)$$ Considerando un prisma triangular, el potencial va a depender del ángulo $\phi$, y en el eje $z$ va a permanecer constante $U(\phi)$ además podemos obtener la transformación de coordenadas de coordenadas rectangulares a las coordenadas asociadas al prisma: $$x=hsen\phi \qquad y=c cos\phi \qquad z=z$$ De acuerdo a las relaciones trigonométricas tenemos respecto al seno del ángulo $phi$ que $sen\phi=\frac{h}{a}$, a partir de esta información es p...

Los siguientes problemas van a estar dedicados uno a uno en diferente página para evitar demasiado texto y corresponde a los presentes después de la sección $\S 9$: 3. Indicar las componentes del ímpetu $\mathbf{p}$ y del momento cinético $\mathbf{M}$ que se conservan en un movimiento dentro de los siguientes campos: b) Campo cilíndrico homogéneo indefinido. Su lagrangiano expresado en coordenadas rectangulares es: $$L=\frac{1}{2}m(\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2)-U(\mathbf{r_1},\mathbf{r_2},...)$$ Debido a que el campo es cilíndrico, luego existe aceleración respecto a $r$ y $\phi$, por lo tanto existe energía potencial respecto a dichas coordenadas $U(r,\phi)$; además tenemos la transformación de coordenadas rectangulares a cilíndricas con sus respectivas derivadas respecto al tiempo: $$x=rcos\phi \qquad y=rsen\phi \qquad z=z$$ $$\dot{x}=\dot{r}cos\phi-r\dot{\phi}sen\phi \qquad \dot{y}=\dot{r}sen\phi+r\dot{\phi}cos\phi\qquad \dot{z}=\dot{z}$$ Reemplazando en nuestro lagrangiano: \[L=\f...

Los siguientes problemas van a estar dedicados uno a uno en diferente página para evitar demasiado texto y corresponde a los presentes después de la sección $\S 9$: 3. Indicar las componentes del ímpetu $\mathbf{p}$ y del momento cinético $\mathbf{M}$ que se conservan en un movimiento dentro de los siguientes campos: a)Campo plano homogéneo e indefinido Cómo es un campo plano, luego su lagrangiano corresponde a: $$L=\frac{1}{2}m(\dot{x}^2+\dot{y}^2)-U(\mathbf{r_1},\mathbf{r_2},...)$$ Luego como no hay interacción de otro cuerpo en el campo plano homogéneo e indefinido es posible considerarla como constante, ahora aplicamos las ecuaciones de Euler-Lagrange para cada coordenada generalizada ($x$ e $y$): $x$: $$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}} \right )-\frac{\partial L}{\partial x}=0$$ \[\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial }{\partial  \dot{x}}\left(\frac{1}{2}m(\dot{x}^2+\dot{y}^2)-U \right ) \right )-\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{1}{2}m(\dot{x}^2+\dot{y}^2...

 El siguiente problema corresponde a los presentes después de la sección $\S 9$: 2. Hallar las expresiones de las componentes cartesianas y el valor del módulo del momento angular de una partícula cuyas coordenadas esféricas son $r$, $\theta$, $\phi$. Las coordenadas de transformación para una partícula de coordenadas esféricas en términos de coordenadas rectangulares es: $$x=rsen\theta cos\phi \qquad y=rsen\theta sen\phi \qquad z=rcos\theta$$ Y sus derivadas respecto al tiempo: $$\dot{x}=\dot{r}sen\theta cos\phi+r\dot{\theta}cos\theta cos\phi-r\dot{\phi}sen\theta sen\phi\qquad \dot{y}=\dot{r}sen\theta sen\phi+r\dot{\theta}cos\theta sen\phi+r\dot{\phi}sen\theta cos\phi$$ $$\dot{z}=\dot{r}cos\theta-r\dot{\theta}sen\theta$$ Las componentes del momento angular las calculamos así: \[\mathbf{r}\times\mathbf{p}=m\mathbf{r}\times\mathbf{v}=\begin{vmatrix}i & j & k\\ x & y & z\\ \dot{x} & \dot{y} & \dot{z}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}y & z\\ \dot{y} & \dot{z...

  Comenzamos nuestras notas para poder entender un poco mejor el libro de Mecánica de Landau, en esta ocasión nos trasladamos a la demostración del momento angular en la sección $\S 9$ Enseguida escribiré de forma muy ligera la demostración que se lleva a cabo en color negro, de acuerdo al libro, con unas breves frases que resumen el proceso, y cuándo lleguemos a la permutación circular, les mostrare cómo es posible realizar dicho proceso con una pequeña demostración: La magnitud de $|\delta r|$ de acuerdo a la imagen es: $$|\delta\mathbf{r}|=rsen\theta \delta\phi$$ Esto se puede expresar cómo un producto vectorial: $$\delta \mathbf{r}=\delta\boldsymbol{\phi}\times \mathbf{r}$$ Y su derivada respecto al tiempo: $$\delta \mathbf{v}=\delta\boldsymbol{\phi}\times \mathbf{v}$$ Llevando las anteriores expresiones a la condición que el lagrangiano no varía por la rotación: \[\delta L=\sum_a\left(\frac{\partial L}{\partial \mathbf{r}_a}\cdot \delta \mathbf{r}_a + \frac{\partial L}{\p...

El siguiente problema corresponde a los presentes después de la sección $\S 9$: 1. Hallar las expresiones de las componentes cartesianas y el valor del módulo del momento angular de una partícula cuyas coordenadas cilíndricas son $r$, $\phi$, $z$. Las coordenadas de transformación para una partícula de coordenadas cilíndricas en términos de coordenadas rectangulares es: $$x=rcos\phi \qquad y=rsen\phi \qquad z=z$$ Y sus derivadas respecto al tiempo son: $$\dot{x}=\dot{r}cos\phi-r\dot{\phi}sen\phi \qquad \dot{y}=\dot{r}sen\phi+r\dot{\phi}cos\phi \qquad \dot{z}=\dot{z}$$ Las componentes del momento angular se pueden calcular cómo: $$\mathbf{r}\times\mathbf{p}=m\mathbf{r}\times\mathbf{v}=\begin{vmatrix}i & j & k\\ x & y & z\\ \dot{x} & \dot{y} & \dot{z}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}y & z\\ \dot{y} & \dot{z}\end{vmatrix}i+\begin{vmatrix}z & x\\ \dot{z} & \dot{x}\end{vmatrix}j+\begin{vmatrix}x & y\\ \dot{x} & \dot{y}\end{vmatrix}k$$ \[m\mathbf{r...

 Problema seguido de la sección  $\S 8$: Encontrar la ley de transformación de la acción $S$ cuando se pasa de un sistema inercial a otro. En este caso el problema no necesita un esquema como representación, sólo necesita manipulación de la acción como sigue: La acción la definimos cómo: $$S=\int_{t_1}^{t_2}Ldt$$ Primero encontramos la ley de transformación para el lagrangiano (de cualquier cantidad de partículas): $$L=T-U$$ $$L=\frac{1}{2}\sum_a m_av_a^2-U$$ De acuerdo a la relatividad de Galileo $v_a=v'_a+v$, así: $$L=\frac{1}{2}\sum_a m_a(v'_a+v)^2-U$$ Desarrollando el cuadrado tenemos: $$L=\frac{1}{2}\sum_a m_av_{a}^{'2}+v\cdot \sum_a m_av_{a}^{'}+\frac{1}{2}\sum_a m_av^2-U$$ $$L=\frac{1}{2}\sum_a m_av_{a}^{'2}-U+v\cdot \sum_a m_av_{a}^{'}+\frac{1}{2}\sum_a m_av^2$$ Y esto lo podemos representar cómo: $$L=L'+v\cdot P'+\frac{1}{2}\mu v^2$$ Integramos está expresión respecto al tiempo y obtenemos la ley de transformación para la acción: \[\int_{t_1}^{t...

Problema seguido de la sección  $\S 7$: Una partícula de masa $m$ animada de una velocidad $v$, abandona un semiespacio en el cuál su energía potencial es constante e igual a $U_1$, y entra en otro en el cuál su energía potencial es una constante distinta $U_2$. Determinar el cambio de dirección dl movimiento de la partícula. Normalmente para resolver un problema debemos tener un esquema, y si este no existe, entonces hacer uno que me permita poder resolver el problema con mayor facilidad, así que el problema lo podemos representar como sigue: Luego esta representación nos va a permitir decir que la partícula con masa $m$ y velocidad $v_i$, va a pasar de un semiespacio con energía potencial $U_1$ a otro semiespacio con energía potencial $U_2$, y como nos interesa obtener el cambio de dirección de $U_1$ a $U_2$, luego sólo tenemos en cuenta las componentes verticales de cada una de las velocidades: Así por conservación de la energía tenemos: $$\Delta E=0$$ \[\frac{1}{2}mv_1^2+U_1=\f...

 Finalizando el primer capitulo nos encontramos con el siguiente problema: Hallar el lagrangiano: 4. En el sistema representado en la figura, el punto $m_2$ se mueve sobre el eje vertical, y todo el sistema gira con velocidad angular constante $\Omega$ alrededor de este eje. Primero debemos localizar el marco de referencia, que va a estar ubicado en la parte superior, trazamos un plano y las direcciones positivas en coordenadas rectangulares: En este punto ya podemos conocer cuáles son las coordenadas generalizadas en nuestro sistema, son aquellas por donde transcurre el movimiento; estas son $\theta$ y $\Omega$, ahora expresamos la longitud de cada una de las varillas en función de las componentes rectangulares, y esto sólo es posible mediante triángulos, tomando como referencia el ángulo $\theta$: Ahora es posible expresar en términos de las coordenadas rectangulares, cada una de las componentes para las masas $m_1$ y $m_2$ del sistema: Para la masa más sencilla de encontrar las ...