Solucionario Mecánica de Landau

  Problema seguido de la sección  $\S 10$: 2. Hallar el cociente de los tiempos en la misma trayectoria para partículas que tienen la misma masa, pero su energía potencial difiere de un valor constante. Nuevamente volvemos a hacer el cociente como hicimos en el primer problema seguido de la sección $\S 10$: \[\frac{T}{T'}=\frac{U}{U'}\] Utilizando $v=\frac{l}{t}$: \[\frac{\frac{1}{2}m\frac{l^2}{t^2}}{\frac{1}{2}m\frac{l^2}{t'^2}}=\frac{U}{U'}\] Eliminando términos semejantes llegamos a la respuesta (¿Porqué?): \[\frac{t'^2}{t^2}=\frac{U}{U'}\] \[\frac{t'}{t}=\sqrt{\frac{U}{U'}}\] Con $U'=U+\alpha$ Que corresponde a la respuesta del libro. Así terminamos los problemas del capítulo 2.

 Problema seguido de la sección  $\S 10$: 1. Hallar el cociente de los tiempos en la misma trayectoria para partículas de diferentes masas pero igual energía potencial. Aunque este problema parezca difícil, te voy a mostrar que es bastante sencillo, utilizando el teorema de conservación de la energía, diferenciando cada energía con un apostrofe: \[E=E'\] Se cumple que $T=U$, por lo tanto hallamos el cociente $\frac{T}{T'}=\frac{U}{U'}$ \[\frac{\frac{1}{2}mv^2}{\frac{1}{2}m'v'^2}=\frac{U}{U}\] Eliminando términos semejantes e igualando obtenemos: \[mv^2=m'v'^2\] Considerando velocidades generalizadas, encontramos la siguiente relación válida $v=\frac{l}{t}$ y reemplazamos: \[m\frac{l^2}{t^2}=m'\frac{l^2}{t'^2}\] Luego cómo es la misma trayectoria, pero diferente tiempo podemos obtener el cociente de los tiempos con las masas: \[\frac{m}{t^2}=\frac{m'}{t'^2}\] \[\frac{t'}{t}^2=\frac{m'}{m}\] \[\frac{t'}{t}=\sqrt{\frac{m'}{m}}\] ...

 Los siguientes problemas van a estar dedicados uno a uno en diferente página para evitar demasiado texto y corresponde a los presentes después de la sección $\S 9$: 3. Indicar las componentes del ímpetu $\mathbf{p}$ y del momento cinético $\mathbf{M}$ que se conservan en un movimiento dentro de los siguientes campos: g) Campo de un toro circular homogéneo. Su lagrangiano expresado en coordenadas rectangulares es: \[L=\frac{1}{2}m(\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2)-U(\mathbf{r_1},\mathbf{r_2},...)\] La transformación de coordenadas rectangulares a las coordenadas de la hélice es: \[x=rcos(\omega t) \qquad y=\epsilon rsen(\omega t) \qquad z=ht\] Dónde $\omega$ es el ángulo girado por unidad de tiempo, $t$ es el tiempo y $h$ es el avance en el sentido $z$ por unidad de tiempo, $\epsilon=\pm 1$ según el sentido sea levógiro $+1$ (movimiento en contra de las manecillas del reloj) o dextrogiro $-1$ (movimiento a favor de las manecillas del reloj) Ahora de la transformación de $z$ despejamos...

Los siguientes problemas van a estar dedicados uno a uno en diferente página para evitar demasiado texto y corresponde a los presentes después de la sección $\S 9$: 3. Indicar las componentes del ímpetu $\mathbf{p}$ y del momento cinético $\mathbf{M}$ que se conservan en un movimiento dentro de los siguientes campos: g) Campo de un toro circular homogéneo. Su lagrangiano expresado en coordenadas rectangulares es: \[L=\frac{1}{2}m(\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2)-U(\mathbf{r_1},\mathbf{r_2},...)\] La transformación de las coordenadas rectangulares a las coordenadas del toro es: \[x=cos\phi(R+rcos\theta) \qquad y=sen\phi(R+rcos\theta) \qquad z=rsen\theta\] Donde $R$ es el centro del toro, $r$ es el radio del conducto, supongamos que $r$ puede variar en el tiempo, y que $r<R$ con $R$ constante, además $\theta,\phi$ recorren el intervalo $[0,2\pi)$; sus derivadas respecto al tiempo son: \[\dot{x}=-R\dot{\phi}sen\phi+\dot{r}cos\phi cos\theta-r\dot{\phi}sen\phi cos\theta-r\dot{\theta}cos\ph...

 Los siguientes problemas van a estar dedicados uno a uno en diferente página para evitar demasiado texto y corresponde a los presentes después de la sección $\S 9$: 3. Indicar las componentes del ímpetu $\mathbf{p}$ y del momento cinético $\mathbf{M}$ que se conservan en un movimiento dentro de los siguientes campos: f) Campo de un cono homogéneo. Su lagrangiano expresado en coordenadas rectangulares es: \[L=\frac{1}{2}m(\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2)-U(\mathbf{r_1},\mathbf{r_2},...)\] La transformación de coordenadas rectangulares a las coordenadas de un cono es similar a las coordenadas esféricas, pero con la diferencia que el ángulo $\theta$ va a permanecer constante: \[x=rsen\theta cos\phi \qquad y=rsen\theta sen\phi \qquad z=rcos\theta\] Y sus derivadas respecto al tiempo: \[\dot{x}=\dot{r}sen\theta cos\phi-r\dot{\phi}sen\theta sen\phi \qquad \dot{y}=\dot{r}sen\theta sen\phi+r\dot{\phi}sen\theta cos\phi \qquad \dot{z}=\dot{r}cos\theta\] Reemplazando en nuestro lagrangiano: \[...

Los siguientes problemas van a estar dedicados uno a uno en diferente página para evitar demasiado texto y corresponde a los presentes después de la sección $\S 9$: 3. Indicar las componentes del ímpetu $\mathbf{p}$ y del momento cinético $\mathbf{M}$ que se conservan en un movimiento dentro de los siguientes campos: e) Campo de un semiplano homogéneo indefinido. Aunque está vez no puedo mostrarte un esquema para representar un semiplano homogéneo indefinido, pues está vez tienes que utilizar tu imaginación (igualmente si sabes cómo es el semiplano, me puedes dejar la imagen en los comentarios y con mucho gusto la reemplazare) la pista que nos deja Landau para imaginar el semiplano es la siguiente: "Siendo el semiplano indefinido la parte del plano $x$, y limitada por el eje $y$." Como es un semiplano tengo un posible lagrangiano para que sea $p_y$ la única componente que se conserve, dadas algunas consideraciones. Consideremos un lagrangiano para una partícula que sólo tiene...

 Los siguientes problemas van a estar dedicados uno a uno en diferente página para evitar demasiado texto y corresponde a los presentes después de la sección $\S 9$: 3. Indicar las componentes del ímpetu $\mathbf{p}$ y del momento cinético $\mathbf{M}$ que se conservan en un movimiento dentro de los siguientes campos: d) Campo debido a dos puntos. La forma mas fácil de representar un campo debido a dos puntos es mediante coordenadas esféricas, teniendo en cuenta que pueden variar los ángulos y el radio (esto debido a que no se especifica que clase de campo puede existir entre los dos puntos), resulta bastante práctico para este caso: Su lagrangiano expresado en coordenadas rectangulares es: \[L=\frac{1}{2}m(\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2)-U(\mathbf{r_1},\mathbf{r_2},...)\] Utilizando la transformación de coordenadas rectangulares a coordenadas esféricas: \[x=rsen\theta cos\phi \qquad y=rsen\theta sen\phi \qquad z=rcos\theta\] Y sus derivadas respecto al tiempo: \[\dot{x}=\dot{r}sen\...

 Los siguientes problemas van a estar dedicados uno a uno en diferente página para evitar demasiado texto y corresponde a los presentes después de la sección $\S 9$: 3. Indicar las componentes del ímpetu $\mathbf{p}$ y del momento cinético $\mathbf{M}$ que se conservan en un movimiento dentro de los siguientes campos: c) Campo prismático homogéneo indefinido. Consideremos un campo prismático triangular: Su lagrangiano expresado en coordenadas rectangulares es: \[L=\frac{1}{2}m(\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2)-U(\mathbf{r_1},\mathbf{r_2},...)\] Considerando un prisma triangular, el potencial va a depender del ángulo $\phi$, y en el eje $z$ va a permanecer constante $U(\phi)$ además podemos obtener la transformación de coordenadas de coordenadas rectangulares a las coordenadas asociadas al prisma: \[x=hsen\phi \qquad y=c cos\phi \qquad z=z\] De acuerdo a las relaciones trigonométricas tenemos respecto al seno del ángulo $phi$ que $sen\phi=\frac{h}{a}$, a partir de esta información es p...

Los siguientes problemas van a estar dedicados uno a uno en diferente página para evitar demasiado texto y corresponde a los presentes después de la sección $\S 9$: 3. Indicar las componentes del ímpetu $\mathbf{p}$ y del momento cinético $\mathbf{M}$ que se conservan en un movimiento dentro de los siguientes campos: b) Campo cilíndrico homogéneo indefinido. Su lagrangiano expresado en coordenadas rectangulares es: \[L=\frac{1}{2}m(\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2)-U(\mathbf{r_1},\mathbf{r_2},...)\] Debido a que el campo es cilíndrico, luego existe aceleración respecto a $r$ y $\phi$, por lo tanto existe energía potencial respecto a dichas coordenadas $U(r,\phi)$; además tenemos la transformación de coordenadas rectangulares a cilíndricas con sus respectivas derivadas respecto al tiempo: \[x=rcos\phi \qquad y=rsen\phi \qquad z=z\] \[\dot{x}=\dot{r}cos\phi-r\dot{\phi}sen\phi \qquad \dot{y}=\dot{r}sen\phi+r\dot{\phi}cos\phi\qquad \dot{z}=\dot{z}\] Reemplazando en nuestro lagrangiano: \[L=\f...

Los siguientes problemas van a estar dedicados uno a uno en diferente página para evitar demasiado texto y corresponde a los presentes después de la sección $\S 9$: 3. Indicar las componentes del ímpetu $\mathbf{p}$ y del momento cinético $\mathbf{M}$ que se conservan en un movimiento dentro de los siguientes campos: a)Campo plano homogéneo e indefinido Cómo es un campo plano, luego su lagrangiano corresponde a: \[L=\frac{1}{2}m(\dot{x}^2+\dot{y}^2)-U(\mathbf{r_1},\mathbf{r_2},...)\] Luego como no hay interacción de otro cuerpo en el campo plano homogéneo e indefinido es posible considerarla como constante, ahora aplicamos las ecuaciones de Euler-Lagrange para cada coordenada generalizada ($x$ e $y$): $x$: \[\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}} \right )-\frac{\partial L}{\partial x}=0\] \[\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial }{\partial  \dot{x}}\left(\frac{1}{2}m(\dot{x}^2+\dot{y}^2)-U \right ) \right )-\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{1}{2}m(\dot{x}^2+\dot{y}^2...

 El siguiente problema corresponde a los presentes después de la sección $\S 9$: 2. Hallar las expresiones de las componentes cartesianas y el valor del módulo del momento angular de una partícula cuyas coordenadas esféricas son $r$, $\theta$, $\phi$. Las coordenadas de transformación para una partícula de coordenadas esféricas en términos de coordenadas rectangulares es: \[x=rsen\theta cos\phi \qquad y=rsen\theta sen\phi \qquad z=rcos\theta\] Y sus derivadas respecto al tiempo: \[\dot{x}=\dot{r}sen\theta cos\phi+r\dot{\theta}cos\theta cos\phi-r\dot{\phi}sen\theta sen\phi\qquad \dot{y}=\dot{r}sen\theta sen\phi+r\dot{\theta}cos\theta sen\phi+r\dot{\phi}sen\theta cos\phi\] \[\dot{z}=\dot{r}cos\theta-r\dot{\theta}sen\theta\] Las componentes del momento angular las calculamos así: \[\mathbf{r}\times\mathbf{p}=m\mathbf{r}\times\mathbf{v}=\begin{vmatrix}i & j & k\\ x & y & z\\ \dot{x} & \dot{y} & \dot{z}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}y & z\\ \dot{y} & \dot{z...

  Comenzamos nuestras notas para poder entender un poco mejor el libro de Mecánica de Landau, en esta ocasión nos trasladamos a la demostración del momento angular en la sección $\S 9$ Enseguida escribiré de forma muy ligera la demostración que se lleva a cabo en color negro, de acuerdo al libro, con unas breves frases que resumen el proceso, y cuándo lleguemos a la permutación circular, les mostrare cómo es posible realizar dicho proceso con una pequeña demostración: La magnitud de $|\delta r|$ de acuerdo a la imagen es: \[|\delta\mathbf{r}|=rsen\theta \delta\phi\] Esto se puede expresar cómo un producto vectorial: \[\delta \mathbf{r}=\delta\boldsymbol{\phi}\times \mathbf{r}\] Y su derivada respecto al tiempo: \[\delta \mathbf{v}=\delta\boldsymbol{\phi}\times \mathbf{v}\] Llevando las anteriores expresiones a la condición que el lagrangiano no varía por la rotación: \[\delta L=\sum_a\left(\frac{\partial L}{\partial \mathbf{r}_a}\cdot \delta \mathbf{r}_a + \frac{\partial L}{\p...

El siguiente problema corresponde a los presentes después de la sección $\S 9$: 1. Hallar las expresiones de las componentes cartesianas y el valor del módulo del momento angular de una partícula cuyas coordenadas cilíndricas son $r$, $\phi$, $z$. Las coordenadas de transformación para una partícula de coordenadas cilíndricas en términos de coordenadas rectangulares es: \[x=rcos\phi \qquad y=rsen\phi \qquad z=z\] Y sus derivadas respecto al tiempo son: \[\dot{x}=\dot{r}cos\phi-r\dot{\phi}sen\phi \qquad \dot{y}=\dot{r}sen\phi+r\dot{\phi}cos\phi \qquad \dot{z}=\dot{z}\] Las componentes del momento angular se pueden calcular cómo: \[\mathbf{r}\times\mathbf{p}=m\mathbf{r}\times\mathbf{v}=\begin{vmatrix}i & j & k\\ x & y & z\\ \dot{x} & \dot{y} & \dot{z}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}y & z\\ \dot{y} & \dot{z}\end{vmatrix}i+\begin{vmatrix}z & x\\ \dot{z} & \dot{x}\end{vmatrix}j+\begin{vmatrix}x & y\\ \dot{x} & \dot{y}\end{vmatrix}k\] \[m\mathbf{r...

 Problema seguido de la sección  $\S 8$: Encontrar la ley de transformación de la acción $S$ cuando se pasa de un sistema inercial a otro. En este caso el problema no necesita un esquema como representación, sólo necesita manipulación de la acción como sigue: La acción la definimos cómo: \[S=\int_{t_1}^{t_2}Ldt\] Primero encontramos la ley de transformación para el lagrangiano (de cualquier cantidad de partículas): \[L=T-U\] \[L=\frac{1}{2}\sum_a m_av_a^2-U\] De acuerdo a la relatividad de Galileo $v_a=v'_a+v$, así: \[L=\frac{1}{2}\sum_a m_a(v'_a+v)^2-U\] Desarrollando el cuadrado tenemos: \[L=\frac{1}{2}\sum_a m_av_{a}^{'2}+v\cdot \sum_a m_av_{a}^{'}+\frac{1}{2}\sum_a m_av^2-U\] \[L=\frac{1}{2}\sum_a m_av_{a}^{'2}-U+v\cdot \sum_a m_av_{a}^{'}+\frac{1}{2}\sum_a m_av^2\] Y esto lo podemos representar cómo: \[L=L'+v\cdot P'+\frac{1}{2}\mu v^2\] Integramos está expresión respecto al tiempo y obtenemos la ley de transformación para la acción: \[\int_{t_1}^{t...

Problema seguido de la sección  $\S 7$: Una partícula de masa $m$ animada de una velocidad $v$, abandona un semiespacio en el cuál su energía potencial es constante e igual a $U_1$, y entra en otro en el cuál su energía potencial es una constante distinta $U_2$. Determinar el cambio de dirección dl movimiento de la partícula. Normalmente para resolver un problema debemos tener un esquema, y si este no existe, entonces hacer uno que me permita poder resolver el problema con mayor facilidad, así que el problema lo podemos representar como sigue: Luego esta representación nos va a permitir decir que la partícula con masa $m$ y velocidad $v_i$, va a pasar de un semiespacio con energía potencial $U_1$ a otro semiespacio con energía potencial $U_2$, y como nos interesa obtener el cambio de dirección de $U_1$ a $U_2$, luego sólo tenemos en cuenta las componentes verticales de cada una de las velocidades: Así por conservación de la energía tenemos: \[\Delta E=0\] \[\frac{1}{2}mv_1^2+U_1=\f...

 Finalizando el primer capitulo nos encontramos con el siguiente problema: Hallar el lagrangiano: 4. En el sistema representado en la figura, el punto $m_2$ se mueve sobre el eje vertical, y todo el sistema gira con velocidad angular constante $\Omega$ alrededor de este eje. Primero debemos localizar el marco de referencia, que va a estar ubicado en la parte superior, trazamos un plano y las direcciones positivas en coordenadas rectangulares: En este punto ya podemos conocer cuáles son las coordenadas generalizadas en nuestro sistema, son aquellas por donde transcurre el movimiento; estas son $\theta$ y $\Omega$, ahora expresamos la longitud de cada una de las varillas en función de las componentes rectangulares, y esto sólo es posible mediante triángulos, tomando como referencia el ángulo $\theta$: Ahora es posible expresar en términos de las coordenadas rectangulares, cada una de las componentes para las masas $m_1$ y $m_2$ del sistema: Para la masa más sencilla de encontrar las ...

 Está es la parte final del tercer punto, que finalizamos con el ítem c): Péndulo plano cuyo punto de suspensión: 3.c) Oscila verticalmente según la ley $y=acos(\gamma t)$: Cómo las coordenadas generalizadas son aquellas por donde se efectúa el movimiento, el péndulo se mueve verticalmente de acuerdo a la ley $y=acos(\gamma t)$ y mediante la coordenada $\phi$, que se pueden descomponer en coordenadas rectangulares mediante un triángulo: Como es una única masa, sumamos las coordenadas $y=y_1+y_2$ e $x=x_1$, con nuestro punto de referencia ubicado de acuerdo al esquema anterior, así: \[x=lsen\phi \qquad y=acos(\gamma t)-lcos\phi\] Y sus respectivas derivadas respecto al tiempo: \[\dot{x}=\dot{\phi}lcos\phi \qquad \dot{y}=-a\gamma sen(\gamma t)+\dot{\phi}lsen\phi\] Reemplazamos en nuestra energía cinética: \[T=\frac{1}{2}m[\dot{x}^2+\dot{y}^2]\] \[T=\frac{1}{2}m[\dot{\phi}^2l^2cos^2\phi+(-a\gamma sen(\gamma t)+\dot{\phi}lsen\phi)^2]\] Haciendo un poco de álgebra y utilizando la identi...

Debido a que el tercer punto tiene 3 ítems a), b) y c), he decidido dedicar a cada ejercicio su propio espacio, ya que son similares, pero no dependen entre sí. Péndulo plano cuyo punto de suspensión: 3.b) Oscila horizontalmente en el plano del péndulo según la ley $x=acos(\gamma t)$: Cómo las coordenadas generalizadas son aquellas por donde se efectúa el movimiento, el péndulo se mueve oscilando horizontalmente de acuerdo a $x=acos(\gamma t)$ y a través del ángulo $\phi$, luego es posible representarlas en términos de coordenadas rectangulares mediante triángulos: Cómo es una sola masa, sumamos las coordenadas $x$ en este caso, para formar $x=x_1+x_2$ e $y=y_1$, que de acuerdo  a nuestro punto de referencia ubicado sobre la horizontal (parte superior positivo, parte inferior negativo) tenemos: \[x=acos(\gamma t)+lsen\phi \qquad y=-lcos\phi\] Y sus respectivas derivadas respecto al tiempo: \[\dot{x}=-a\gamma sen(\gamma t)+\dot{\phi}lcos\phi \qquad \dot{y}=\dot{\phi}lsen\phi\] Reemp...

Después de un buen tiempo sin publicar en el blog, he vuelto y continuamos con el item a)  Péndulo plano, cuyo punto de suspensión: 3.a) se desplaza uniformemente sobre una circunferencia vertical con una frecuencia constante $\gamma$: Recordando que nuestras coordenadas generalizadas son aquellas por donde se efectúa el movimiento, para nuestro caso las coordenada $\phi$, pero como tenemos un movimiento circular, este va a tener dependencia explicita por el tiempo, multiplicada por su frecuencia $\gamma$, para efectos de facilidad al momento de obtener el lagrangiano, representamos $l$ (la longitud del péndulo), $\phi$, $a$ (el radio de la circunferencia), y $\gamma t$, el ángulo que recorre el péndulo en la circunferencia, respecto a las coordenadas rectangulares $x$ e $y$ en dos triángulos: Cómo es una masa, entonces tendremos la suma de coordenadas $x=x_1+x_2$ e $y=y_1+y_2$, que en términos de coordenadas rectangulares es: \[x=acos(\gamma t)+lsen\phi \qquad y=asen(\gamma t)-lco...

Continuamos resolviendo los problemas que siguen a la sección $\S 5$: Encontrar la lagrangiana (o lagrangiano) 2.Péndulo plano de masa $m_2$, cuyo punto de suspensión (de masa $m_1$) puede desplazarse en el mismo plano sobre una recta horizontal. Como nuestras coordenadas generalizadas son aquellas por dónde se efectúa el movimiento, en este caso las coordenadas $x$ y $\phi$, es a partir de estos que obtenemos nuestro lagrangiano, y para efectos prácticos en el péndulo, vamos a representar la proyección del largo del péndulo $l$, y su ángulo $\phi$ respecto a las coordenadas rectangulares $x$ y $y$, mediante un triángulo rectángulo: Escribiendo en términos de las coordenadas rectangulares: \[x_1=x_1 \qquad y_1=0\] \[x_2=lsen\phi+x_1\qquad y_2=-lcos\phi\] (El signo negativo es debido a la forma que he decidido escoger las coordenadas) Las derivadas respecto al tiempo son: \[\dot{x}_1=\dot{x}_1 \qquad \dot{y}_1=0\] \[\dot{x}_2=lcos\phi\dot{\phi}+\dot{x}_1\qquad \dot{y}_2=lsen\phi\dot{\ph...